Tham khảo

Bài 1: Cho 1 ví dụ để bác bỏ các ý kiến sau:

a) Tổng của 2 số vô tỉ là 1 số vô tỉ

Ý kiến: Tổng của hai số vô tỉ luôn là số vô tỉ.

Bác bỏ: Tổng của hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ.

Ví dụ: Chọn \(x = \sqrt{2}\) và \(y = - \sqrt{2}\).

Tổng của chúng là:

\(x + y = \sqrt{2} + \left(\right. - \sqrt{2} \left.\right) = 0\)

Vì 0 là một số hữu tỉ, nên tổng của hai số vô tỉ này là một số hữu tỉ. Điều này bác bỏ ý kiến rằng tổng của hai số vô tỉ luôn là vô tỉ.

b) Hiệu của 2 số vô tỉ là 1 số vô tỉ

Ý kiến: Hiệu của hai số vô tỉ luôn là số vô tỉ.

Bác bỏ: Hiệu của hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ.

Ví dụ: Chọn \(x = \sqrt{2}\) và \(y = \sqrt{2}\).

Hiệu của chúng là:

\(x - y = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0\)

Vì 0 là một số hữu tỉ, nên hiệu của hai số vô tỉ này là một số hữu tỉ. Điều này bác bỏ ý kiến rằng hiệu của hai số vô tỉ luôn là vô tỉ.

c) Tích của 2 số vô tỉ là 1 số vô tỉ

Ý kiến: Tích của hai số vô tỉ luôn là vô tỉ.

Bác bỏ: Tích của hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ.

Ví dụ: Chọn \(x = \sqrt{2}\) và \(y = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Tích của chúng là:

\(x \cdot y = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1\)

Vì 1 là một số hữu tỉ, nên tích của hai số vô tỉ này là một số hữu tỉ. Điều này bác bỏ ý kiến rằng tích của hai số vô tỉ luôn là vô tỉ.

d) Thương của 2 số vô tỉ là 1 số vô tỉ

Ý kiến: Thương của hai số vô tỉ luôn là vô tỉ.

Bác bỏ: Thương của hai số vô tỉ có thể là một số hữu tỉ.

Ví dụ: Chọn \(x = \sqrt{2}\) và \(y = \sqrt{2}\).

Thương của chúng là:

\(\frac{x}{y} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\)

Vì 1 là một số hữu tỉ, nên thương của hai số vô tỉ này là một số hữu tỉ. Điều này bác bỏ ý kiến rằng thương của hai số vô tỉ luôn là vô tỉ.

Bài 2: Tìm \(x\), \(y\), \(z\)

a) Giải phương trình:

\(\mid x + \frac{19}{5} \mid + \mid y + \frac{1890}{1975} \mid + \mid z - 2023 \mid = 0\)

Để tổng của ba giá trị tuyệt đối bằng 0, mỗi giá trị trong các dấu giá trị tuyệt đối phải bằng 0. Do đó, ta có:

\(x + \frac{19}{5} = 0 , y + \frac{1890}{1975} = 0 , z - 2023 = 0\)

Giải các phương trình trên:

1. \(x = - \frac{19}{5}\)
2. \(y = - \frac{1890}{1975}\)
3. \(z = 2023\)

Vậy:

\(x = - \frac{19}{5} , y = - \frac{1890}{1975} , z = 2023\)

b) Giải phương trình:

\(\mid x - \frac{9}{2} \mid + \mid y + \frac{4}{3} \mid + \mid z + \frac{7}{2} \mid \leq 0\)

Tổng của ba giá trị tuyệt đối không thể nhỏ hơn 0, và tổng này chỉ bằng 0 khi mỗi giá trị tuyệt đối đều bằng 0. Vì vậy, ta có:

\(x - \frac{9}{2} = 0 , y + \frac{4}{3} = 0 , z + \frac{7}{2} = 0\)

Giải các phương trình trên:

1. \(x = \frac{9}{2}\)
2. \(y = - \frac{4}{3}\)
3. \(z = - \frac{7}{2}\)

Vậy:

\(x = \frac{9}{2} , y = - \frac{4}{3} , z = - \frac{7}{2}\)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \mid 2 x - \frac{1}{3} \mid + 107\)

Biểu thức \(A\) có giá trị nhỏ nhất khi \(\mid 2 x - \frac{1}{3} \mid = 0\), tức là \(2 x = \frac{1}{3}\), hoặc \(x = \frac{1}{6}\).

Khi \(x = \frac{1}{6}\), ta có:

\(A = 0 + 107 = 107\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 107.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(B = \mid x + \frac{1}{2} \mid + \mid x + \frac{1}{3} \mid + \mid x + \frac{1}{4} \mid\)

Để giá trị của \(B\) nhỏ nhất, ta cần chọn giá trị của \(x\) sao cho các giá trị tuyệt đối trong biểu thức nhỏ nhất. Các điểm mà các giá trị tuyệt đối bằng 0 là:

\(x = - \frac{1}{2} , x = - \frac{1}{3} , x = - \frac{1}{4}\)

Do đó, ta chọn giá trị \(x = - \frac{1}{3}\) vì nó nằm giữa các giá trị trên, giúp các giá trị tuyệt đối đạt giá trị nhỏ nhất. Khi \(x = - \frac{1}{3}\), ta có:

\(B = \mid - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \mid + \mid - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \mid + \mid - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \mid\)

Tính các giá trị:

\(B = \mid - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \mid + 0 + \mid - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \mid\)\(B = \mid - \frac{2}{6} + \frac{3}{6} \mid + 0 + \mid - \frac{4}{12} + \frac{3}{12} \mid\)\(B = \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) là \(\frac{1}{4}\).

Tham khảo

Chúng ta sẽ giải từng phần câu hỏi này.

a) Viết hỗn số biểu diễn số hộp dâu tây mà mỗi bạn hái được.

1. Phương hái được:
   Số hộp Phương hái được là:
   \(1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \&\text{nbsp};\text{h}ộ\text{p} .\)
   Vậy số hộp mà Phương hái được là \(\frac{1}{2}\) hộp.
2. • 1 hộp và \(- \frac{1}{2}\) hộp.
3. Hòa hái được:
   Số hộp Hòa hái được là:
   \(2 \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{11}{4} - \frac{2}{4} = \frac{9}{4} \&\text{nbsp};\text{h}ộ\text{p} .\)
   Vậy số hộp mà Hòa hái được là \(\frac{9}{4}\) hộp.
4. • 2 \(\frac{3}{4}\) hộp và \(- \frac{1}{2}\) hộp.
5. Dương hái được:
   Số hộp Dương hái được là:
   \(1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \&\text{nbsp};\text{h}ộ\text{p} .\)
   Vậy số hộp mà Dương hái được là \(\frac{7}{3}\) hộp.
6. • 1 hộp và \(\frac{4}{3}\) hộp.

b) Tính số hộp dâu tây cả ba bạn hái được.

Số hộp dâu tây tổng cộng mà cả ba bạn hái được là tổng của các số hộp mà mỗi người hái.

\(\frac{1}{2} + \frac{9}{4} + \frac{7}{3}\)

Để cộng các phân số này, ta cần tìm một mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 4 và 3 là 12. Ta sẽ quy đồng các phân số:

\(\frac{1}{2} = \frac{6}{12} , \frac{9}{4} = \frac{27}{12} , \frac{7}{3} = \frac{28}{12}\)

Vậy tổng là:

\(\frac{6}{12} + \frac{27}{12} + \frac{28}{12} = \frac{6 + 27 + 28}{12} = \frac{61}{12}\)

Vậy tổng số hộp dâu tây mà cả ba bạn hái được là \(\frac{61}{12}\) hộp.

c) Biết mỗi hộp có 20 quả dâu. Tính số dâu tây mỗi bạn hái được.

1. Phương hái được \(\frac{1}{2}\) hộp, vậy số quả dâu Phương hái được là:

\(\frac{1}{2} \times 20 = 10 \&\text{nbsp};\text{qu}ả .\)

1. Hòa hái được \(\frac{9}{4}\) hộp, vậy số quả dâu Hòa hái được là:

\(\frac{9}{4} \times 20 = \frac{180}{4} = 45 \&\text{nbsp};\text{qu}ả .\)

1. Dương hái được \(\frac{7}{3}\) hộp, vậy số quả dâu Dương hái được là:

\(\frac{7}{3} \times 20 = \frac{140}{3} \approx 46.67 \&\text{nbsp};\text{qu}ả .\)

Kết luận:

• a) Số hộp mà mỗi bạn hái được:
• • Phương: \(\frac{1}{2}\) hộp.
  • Hòa: \(\frac{9}{4}\) hộp.
  • Dương: \(\frac{7}{3}\) hộp.
• b) Tổng số hộp dâu tây cả ba bạn hái được là \(\frac{61}{12}\) hộp.
• c) Số dâu tây mỗi bạn hái được:
• • Phương: 10 quả.
  • Hòa: 45 quả.
  • Dương: khoảng 47 quả.

Tham khảo

Biểu thức bạn đưa ra là:

\(- \left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2} + 2024\)

Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần phân tích nó.

Bước 1: Xem xét biểu thức

Biểu thức này có dạng của một hàm bậc 2, cụ thể là một hàm bậc 2 theo \(x\). Trong đó, \(- \left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2}\) là một biểu thức bậc 2 có hệ số âm, điều này cho thấy đồ thị của biểu thức sẽ là một parabola mở xuống.

Bước 2: Tìm giá trị cực trị

Để tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu, ta cần xác định giá trị của \(x\) tại điểm mà \(\left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Vì \(\left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2} \geq 0\) với mọi giá trị của \(x\), giá trị nhỏ nhất của \(\left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2}\) là 0, và điều này xảy ra khi:

\(5 x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{5}\)

Bước 3: Tính giá trị tại \(x = \frac{4}{5}\)

Khi \(x = \frac{4}{5}\), ta có:

\(\left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2} = \left(\right. 5 \cdot \frac{4}{5} - 4 \left.\right)^{2} = 0\)

Vậy, giá trị của biểu thức trở thành:

\(- \left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2} + 2024 = - 0 + 2024 = 2024\)

Bước 4: Xác định giá trị lớn nhất

Vì \(- \left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2}\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, giá trị của biểu thức sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \(\left(\right. 5 x - 4 \left.\right)^{2} = 0\), tức là tại \(x = \frac{4}{5}\).

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức là 2024, và không có giá trị nhỏ nhất vì giá trị của biểu thức có thể giảm vô hạn khi \(x\) thay đổi.

Tham khảo

Để giải bài toán này, ta cần tìm hai số tự nhiên \(x\) và \(y\) thỏa mãn điều kiện sau:

• Tổng của chúng gấp 3 lần hiệu của chúng.
• Tổng của chúng bằng nửa tích của chúng.

Phân tích bài toán:

Điều kiện 1: Tổng của hai số gấp 3 lần hiệu của chúng, tức là:

\(x + y = 3 \left(\right. x - y \left.\right)\)

Điều kiện 2: Tổng của chúng bằng nửa tích của chúng, tức là:

\(x + y = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\)

Giải quyết:

1. Từ điều kiện 1:

\(x + y = 3 \left(\right. x - y \left.\right)\)

Giải phương trình này:

\(x + y = 3 x - 3 y\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:

\(x + y - 3 x + 3 y = 0\)\(- 2 x + 4 y = 0\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(- x + 2 y = 0\)

Tức là:

\(x = 2 y\)

Vậy ta có \(x = 2 y\).

1. Thay vào điều kiện 2:

Ta thay \(x = 2 y\) vào phương trình điều kiện 2:

\(x + y = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y\)

Thay \(x = 2 y\) vào phương trình:

\(2 y + y = \frac{1}{2} \cdot 2 y \cdot y\)

Giải phương trình này:

\(3 y = y^{2}\)

Chia cả hai vế cho \(y\) (vì \(y \neq 0\)):

\(3 = y\)

Vậy \(y = 3\).

1. Tìm giá trị của \(x\):

Vì \(x = 2 y\), ta có:

\(x = 2 \times 3 = 6\)

Kết luận:

Hai số cần tìm là \(x = 6\) và \(y = 3\).

Vậy hai số tự nhiên là 6 và 3.

Tham khảo

Để chứng minh rằng tổng \(A = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \hdots + 3^{48}\) chia hết cho 12, 39, và 40, ta sẽ phân tích từng phần một.

Bước 1: Viết lại tổng dưới dạng cấp số cộng

Tổng \(A\) là tổng của một cấp số cộng với công sai là \(3\):

\(A = 3 + 3^{2} + 3^{3} + \hdots + 3^{48}\)

Ta có thể viết tổng này dưới dạng sau:

\(A = \sum_{k = 1}^{48} 3^{k}\)

Biểu thức này là tổng của một cấp số lũy thừa, nên ta sẽ sử dụng công thức tổng của cấp số lũy thừa:

\(S_{n} = a \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1}\)

Trong đó \(a = 3\), \(r = 3\), và \(n = 48\). Áp dụng vào công thức trên, ta có:

\(A = 3 \cdot \frac{3^{48} - 1}{3 - 1} = \frac{3 \left(\right. 3^{48} - 1 \left.\right)}{2}\)

Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 12, 39 và 40

Kiểm tra chia hết cho 12:

Để \(A\) chia hết cho 12, ta cần chứng minh rằng \(A m o d \textrm{ } \textrm{ } 12 = 0\).

1. Chia hết cho 4:
   \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) có chu kỳ lặp lại với chu kỳ 2:
   Vì vậy, \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) sẽ lặp lại chu kỳ 3, 1, 3, 1, v.v. Đối với tổng của các phần tử \(3^{1} , 3^{2} , \ldots , 3^{48}\), tổng các phần tử này modulo 4 sẽ là:
   \(\text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp}; 3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 \&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp}; k = 1 \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; k = 48\)
   Ta có \(48 / 2 = 24\) cặp số (3, 1), mỗi cặp có tổng là \(3 + 1 = 4\), chia hết cho 4. Do đó, tổng \(A\) chia hết cho 4.
2. • \(3^{1} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 = 3\)
   • \(3^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 = 1\)
3. Chia hết cho 3:
   Tất cả các số \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 = 0\) đối với mọi \(k \geq 1\), nên tổng của tất cả các số này chia hết cho 3.

Vậy tổng \(A\) chia hết cho cả 3 và 4, tức là \(A\) chia hết cho 12.

Kiểm tra chia hết cho 39:

Kiểm tra chia hết cho 39 yêu cầu \(A\) phải chia hết cho cả 3 và 13. Ta đã chứng minh rằng \(A\) chia hết cho 3, nên chỉ cần chứng minh rằng \(A\) chia hết cho 13.

Để kiểm tra chia hết cho 13, ta xem xét \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\). Chu kỳ của \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\) có chu kỳ dài 3, vì vậy ta sẽ tính tổng của các phần tử trong chu kỳ này:

• \(3^{1} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 = 3\)
• \(3^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 = 9\)
• \(3^{3} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 = 1\)

Do đó, tổng của mỗi chu kỳ là \(3 + 9 + 1 = 13\), chia hết cho 13. Vì tổng có 16 chu kỳ đầy đủ (vì \(48 / 3 = 16\)), ta có tổng chia hết cho 13.

Vậy \(A\) chia hết cho 39.

Kiểm tra chia hết cho 40:

Để \(A\) chia hết cho 40, ta cần \(A\) chia hết cho cả 5 và 8.

1. Chia hết cho 5:
   Ta có chu kỳ của \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) với chu kỳ dài 4:
   Do đó, tổng của mỗi chu kỳ là \(3 + 4 + 2 + 1 = 10\), chia hết cho 5. Tổng có 12 chu kỳ đầy đủ (vì \(48 / 4 = 12\)), nên tổng \(A\) chia hết cho 5.
2. • \(3^{1} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 = 3\)
   • \(3^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 = 4\)
   • \(3^{3} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 = 2\)
   • \(3^{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 5 = 1\)
3. Chia hết cho 8:
   Ta có chu kỳ của \(3^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 8\) với chu kỳ dài 4:
   Tổng của mỗi chu kỳ là \(3 + 1 = 4\), chia hết cho 4. Vì tổng có 12 chu kỳ đầy đủ (vì \(48 / 4 = 12\)), ta có tổng \(A\) chia hết cho 8.
4. • \(3^{1} m o d \textrm{ } \textrm{ } 8 = 3\)
   • \(3^{2} m o d \textrm{ } \textrm{ } 8 = 1\)

Vậy \(A\) chia hết cho 40.

Kết luận:

Vì \(A\) chia hết cho 12, 39 và 40, ta có thể kết luận rằng \(A\) chia hết cho cả 12, 39 và 40.