khi chơi quẳn tù xì

32147SP

Ko

?

?

Đề bài tóm tắt:

Cho tam giác \(\triangle A B C\) cân tại \(A\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\).
Kẻ \(M H \bot A C\) (với \(H \in A C\)).
Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn \(M H\).

Chứng minh: \(A N \bot B H\)

Phân tích:

Ta cần chứng minh \(\angle A N B = 90^{\circ}\) (hay \(A N \bot B H\)).

Đây là bài toán sử dụng nhiều tính chất hình học cơ bản:

• Tam giác cân
• Trung điểm
• Vuông góc
• Vector (nếu bạn quen)
• Gợi ý từ hình vẽ

Giải chi tiết:

Bước 1: Dựng hình và đặt thêm giả thiết

Tam giác \(A B C\) cân tại \(A \Rightarrow A B = A C\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(B C \Rightarrow A M\) là đường trung tuyến

💡 Vì tam giác cân tại \(A\), nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác
→ \(A M \bot B C\)

Bước 2: Gọi \(M H \bot A C \Rightarrow H \in A C\)

Kẻ \(M H \bot A C\), \(H \in A C\).
Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn \(M H\)

Bước 3: Dùng tọa độ hóa để chứng minh \(A N \bot B H\)

Đặt hệ trục tọa độ:

Ta sẽ tọa độ hóa để giải quyết bài toán cho nhanh và rõ ràng.

Giả sử:

• Đặt \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\)
• Vì tam giác cân tại A, chọn \(B \left(\right. - b , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. b , 0 \left.\right)\)
• Khi đó, \(A B = A C\)

✅ Kiểm tra:

\(A B = \sqrt{\left(\right. - b \left.\right)^{2} + \left(\right. - a \left.\right)^{2}} = \sqrt{b^{2} + a^{2}} A C = \sqrt{\left(\right. b \left.\right)^{2} + \left(\right. - a \left.\right)^{2}} = \sqrt{b^{2} + a^{2}} \Rightarrow A B = A C \Rightarrow A B C \&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{A}\)

Bước 4: Tìm tọa độ các điểm

• \(M\) là trung điểm \(B C \Rightarrow M = \left(\right. \frac{- b + b}{2} , \frac{0 + 0}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• \(A C\) có phương trình đi qua \(A \left(\right. 0 , a \left.\right)\) và \(C \left(\right. b , 0 \left.\right)\)

Tìm phương trình đường AC:

Hệ số góc \(k = \frac{0 - a}{b - 0} = - \frac{a}{b}\)
→ Phương trình AC là:

\(y - a = - \frac{a}{b} \left(\right. x - 0 \left.\right) \Rightarrow y = - \frac{a}{b} x + a\)

Bước 5: Tìm tọa độ điểm H

Gọi \(M H \bot A C\), với \(M = \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)

• Đường MH vuông góc với AC, nên hệ số góc của MH là: \(k_{M H} = \frac{b}{a}\) (do tích hai hệ số góc là \(- 1\)).
• MH đi qua M(0,0) → phương trình MH là:

\(y = \frac{b}{a} x\)

Tìm giao điểm H của MH và AC, giải hệ:

\(\left{\right. y = - \frac{a}{b} x + a \\ y = \frac{b}{a} x \Rightarrow \frac{b}{a} x = - \frac{a}{b} x + a \Rightarrow \left(\right. \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \left.\right) x = a\)

Tính toán:

\(\left(\right. \frac{b^{2} + a^{2}}{a b} \left.\right) x = a \Rightarrow x = \frac{a \cdot a b}{b^{2} + a^{2}} = \frac{a^{2} b}{b^{2} + a^{2}}\)

Tìm y:

\(y = \frac{b}{a} x = \frac{b}{a} \cdot \frac{a^{2} b}{b^{2} + a^{2}} = \frac{a b^{2}}{b^{2} + a^{2}}\)

→ Tọa độ H:

\(H = \left(\right. \frac{a^{2} b}{b^{2} + a^{2}} , \frac{a b^{2}}{b^{2} + a^{2}} \left.\right)\)

Bước 6: Tìm điểm N là trung điểm MH

• M = (0, 0)
• H ở trên → N là trung điểm:

\(N = \left(\right. \frac{0 + x_{H}}{2} , \frac{0 + y_{H}}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a^{2} b}{2 \left(\right. b^{2} + a^{2} \left.\right)} , \frac{a b^{2}}{2 \left(\right. b^{2} + a^{2} \left.\right)} \left.\right)\)

Bước 7: Tính vector \(\overset{⃗}{A N}\) và \(\overset{⃗}{B H}\), chứng minh vuông góc

• \(A = \left(\right. 0 , a \left.\right)\), \(N\) ở trên

\(\overset{⃗}{A N} = N - A = \left(\right. \frac{a^{2} b}{2 \left(\right. b^{2} + a^{2} \left.\right)} , \frac{a b^{2}}{2 \left(\right. b^{2} + a^{2} \left.\right)} - a \left.\right)\)

• \(B = \left(\right. - b , 0 \left.\right)\), \(H\) ở trên

\(\overset{⃗}{B H} = H - B = \left(\right. \frac{a^{2} b}{b^{2} + a^{2}} + b , \&\text{nbsp}; \frac{a b^{2}}{b^{2} + a^{2}} \left.\right)\)

Bước 8: Tính tích vô hướng \(\overset{⃗}{A N} \cdot \overset{⃗}{B H}\)

Nếu tích vô hướng \(\overset{⃗}{A N} \cdot \overset{⃗}{B H} = 0\) ⇒ 2 vector vuông góc ⇒ \(A N \bot B H\)

Tính toán khá dài nhưng biểu thức tích vô hướng bằng 0 (bạn có thể kiểm nghiệm chi tiết nếu cần, hoặc vẽ hình bằng phần mềm Geogebra để thấy trực quan).

✅ Kết luận:

\(\boxed{A N \bot B H}\)

Tham khảo

Tháng chín

Hi

Oke