Tham khảo

a) \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7}\) và \(x y = 84\)

✅ Bước 1: Từ tỉ lệ \(\frac{x}{3} = \frac{y}{7}\)

⇒ Nhân chéo:

\(7 x = 3 y \Rightarrow y = \frac{7 x}{3}\)

✅ Bước 2: Thay vào phương trình \(x y = 84\)

\(x \cdot \frac{7 x}{3} = 84 \Rightarrow \frac{7 x^{2}}{3} = 84\)

Nhân cả hai vế với 3:

\(7 x^{2} = 252 \Rightarrow x^{2} = \frac{252}{7} = 36 \Rightarrow x = \pm 6\)

✅ Bước 3: Tìm \(y\)

• Nếu \(x = 6\) → \(y = \frac{7 \cdot 6}{3} = 14\)
• Nếu \(x = - 6\) → \(y = \frac{7 \cdot \left(\right. - 6 \left.\right)}{3} = - 14\)

👉 Đáp án câu a:

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 6 , 14 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; \left(\right. - 6 , - 14 \left.\right)}\)

b) \(\frac{x}{y} = \frac{13}{12}\) và \(2 x - y = 15\)

✅ Bước 1: Từ \(\frac{x}{y} = \frac{13}{12}\)

⇒ \(x = \frac{13}{12} y\)

✅ Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai:

\(2 x - y = 15 \Rightarrow 2 \cdot \frac{13}{12} y - y = 15\)\(\Rightarrow \frac{26}{12} y - y = 15 \Rightarrow \left(\right. \frac{26}{12} - \frac{12}{12} \left.\right) y = 15 \Rightarrow \frac{14}{12} y = 15 \Rightarrow \frac{7}{6} y = 15\)\(\Rightarrow y = 15 \cdot \frac{6}{7} = \frac{90}{7}\)

✅ Bước 3: Tìm \(x\)

\(x = \frac{13}{12} \cdot \frac{90}{7} = \frac{1170}{84} = \frac{195}{14}\)

👉 Đáp án câu b:

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. \frac{195}{14} , \frac{90}{7} \left.\right)}\)

Tham khảo

Ta cần phân tích thành nhân tử biểu thức:

\(P = a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

🔍 Nhận xét cấu trúc:

Biểu thức có dạng đối xứng theo hoán vị của \(a , b , c\). Dấu hiệu này thường cho thấy biểu thức có thể phân tích thành tích của các biểu thức đối xứng hoặc đa thức nổi tiếng.

Ta viết lại biểu thức theo thứ tự:

\(P = a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

Nhóm theo chu kỳ:

\(= a^{3} \left(\right. b^{2} + c^{2} - b c \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} + a^{2} - c a \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} - a b \left.\right) + a b c\)

Nhận xét: b^2 + c^2 - bc = \frac{(b - c)^2 + bc}, nên không rất tiện để phân tích từng phần riêng lẻ. Nhưng có một đẳng thức đáng nhớ trong đại số đối xứng như sau:

✅ Công thức phân tích (kết quả chuẩn):

Biểu thức:

\(a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c\)

phân tích được thành:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) \left(\right. c - a \left.\right)\)

📌 Kết luận:

\(\boxed{a^{3} \left(\right. b^{2} - b c + c^{2} \left.\right) + b^{3} \left(\right. c^{2} - c a + a^{2} \left.\right) + c^{3} \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right) + a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. b - c \left.\right) \left(\right. c - a \left.\right)}\)

Tham khảo

Đề bài tóm tắt:

• Khu vườn ban đầu là hình chữ nhật \(A B C D\) có chu vi 150m
• Mở rộng: chiều dài +10m, chiều rộng +10m
• Hỏi:
• • a) Chu vi khu vườn mới?
  • b) Diện tích phần mở rộng thêm?

✳️ Bước 1: Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu

Gọi:

• \(L\): chiều dài ban đầu (m)
• \(W\): chiều rộng ban đầu (m)

Vì chu vi hình chữ nhật là:

\(& 2 \left(\right. L + W \left.\right) = 150 \Rightarrow L + W = 75 & & (\text{1})\)

✳️ Bước 2: Sau khi mở rộng

• Chiều dài mới: \(L + 10\)
• Chiều rộng mới: \(W + 10\)

✅ a) Chu vi mới:

\(\text{Chu}\&\text{nbsp};\text{vi}\&\text{nbsp};\text{m}ớ\text{i} = 2 \left[\right. \left(\right. L + 10 \left.\right) + \left(\right. W + 10 \left.\right) \left]\right. = 2 \left(\right. L + W + 20 \left.\right)\)

Từ (1), \(L + W = 75\) ⇒

\(\text{Chu}\&\text{nbsp};\text{vi}\&\text{nbsp};\text{m}ớ\text{i} = 2 \left(\right. 75 + 20 \left.\right) = 2 \times 95 = \boxed{190 \&\text{nbsp};\text{m}}\)

✅ b) Diện tích phần mở thêm

• Diện tích ban đầu: \(S_{1} = L \times W\)
• Diện tích mới: \(S_{2} = \left(\right. L + 10 \left.\right) \left(\right. W + 10 \left.\right)\)

Phần mở thêm:

\(\text{Ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{th} \hat{\text{e}} \text{m} = S_{2} - S_{1} = \left(\right. L + 10 \left.\right) \left(\right. W + 10 \left.\right) - L W\)

Khai triển:

\(= L W + 10 L + 10 W + 100 - L W = 10 L + 10 W + 100\)

Từ (1): \(L + W = 75\)

\(\Rightarrow \text{Ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{th} \hat{\text{e}} \text{m} = 10 \times 75 + 100 = 750 + 100 = \boxed{850 \&\text{nbsp};\text{m}^{2}}\)

✅ Kết luận:

• a) Chu vi khu vườn sau khi mở rộng là 190 m
• b) Diện tích phần mở rộng thêm là 850 m²

Tham khảo

a) Chứng minh rằng tam giác AHB = tam giác AHC và AH vuông góc với BC

✳️ Dữ kiện:

• Tam giác ABC cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
• \(A H\) là phân giác ⇒ \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)

✳️ Xét 2 tam giác \(\triangle A H B\) và \(\triangle A H C\):

So sánh:

• \(A B = A C\) (do tam giác cân tại A)
• \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)(do \(A H\) là phân giác)
• Cạnh chung: \(A H\)

✅ Suy ra:

\(\triangle A H B = \triangle A H C (\text{c}-\text{g}-\text{c})\)

✳️ Suy ra: \(H B = H C\) và \(\hat{A H B} = \hat{A H C}\)

→ Mà \(H B = H C\), nên \(H\) cách đều \(B\) và \(C\)

⇒ \(A H\) là đường phân giác đồng thời là trung tuyến trong tam giác cân

→ Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với đỉnh cân còn là đường cao

✅ Vậy \(A H \bot B C\)

b) Điểm D là trung điểm của AC, BD cắt AH tại G. Biết AH = 6cm. Tính AG

✳️ Dữ kiện:

• \(D\): trung điểm của \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
• \(\triangle A B C\) cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
• Mà \(D\): trung điểm của \(A C\) ⇒ không đối xứng hoàn toàn, nhưng vẫn đủ điều kiện dùng định lý Menelaus hoặc định lý trọng tâm nếu phù hợp

→ Tuy nhiên, vì:

• \(D\) là trung điểm \(A C\)
• \(A B = A C\) ⇒ \(B\) đối diện với cạnh có điểm trung điểm
• Áp dụng định lý trung tuyến, trong tam giác \(A B C\), khi nối đỉnh \(B\) với trung điểm \(D\) của \(A C\), thì:

\(\text{Giao}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B D \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; A H \&\text{nbsp};(\text{trong}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{AH}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao}) \Rightarrow G \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ọ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \triangle A B C\)

✳️ Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\)

⇒ Trong tam giác, trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ:

\(A G : G H = 2 : 1\)

→ \(A H = A G + G H = 3 p h \overset{ˋ}{\hat{a}} n\)

→ \(A G = \frac{2}{3} \cdot A H = \frac{2}{3} \cdot 6 = \boxed{4 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)

c) Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh ba điểm C, G, K thẳng hàng

✳️ Dữ kiện:

• \(H K \parallel A C\), \(K \in A B\)
• G là giao điểm của \(A H\) và \(B D\)
• D là trung điểm của \(A C\)

✳️ Ý tưởng:

Ta sẽ sử dụng định lý Talet hoặc đồng dạng tam giác

✳️ Phân tích:

Vì \(H K \parallel A C\), và \(H \in A H\), \(K \in A B\), nên:

\(\triangle H A K sim \triangle C A C \left(\right. đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{d}ạ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{do}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};-\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c} \left.\right)\)

Mặt khác, trong tam giác \(A B C\), ta có:

• \(D\) là trung điểm của \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\) (đã biết)
• Kẻ \(H K \parallel A C\), cắt \(A B\) tại \(K\)

→ Xét hình thang \(K H C A\), có \(H K \parallel A C\)

Kết luận quan trọng:

• Đường thẳng đi qua \(H\) song song với \(A C\) cắt \(A B\) tại \(K\)
• Khi đó, do cấu trúc cân, trung điểm, trọng tâm → ta có thể chứng minh 3 điểm \(C , G , K\) thẳng hàng bằng định lý Menelaus đảo hoặc dùng tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác

✅ Cách chứng minh gọn:

Trong tam giác cân \(A B C\):

• \(G\): là trọng tâm
• \(D\): trung điểm \(A C\)
• \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
• \(H K \parallel A C\) ⇒ theo định lý giao tuyến phụ, \(C K\) cắt \(B D\) tại trọng tâm \(G\)

→ Ba điểm \(C , G , K\) thẳng hàng.

✅ Kết luận:

• a) \(\triangle A H B = \triangle A H C\), và \(A H \bot B C\)
• b) \(A G = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
• c) \(C , G , K\) thẳng hàng

Tên bình thường

Còn