Tham khảo

Bạn đang hỏi về tổng dạng:

\(\frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \hdots + \frac{1}{\left(\right. 2 x + 1 \left.\right) \left(\right. 2 x + 3 \left.\right)} = \frac{100}{609}\)

và cần tìm \(x \in \mathbb{N}\).

Bước 1: Biến đổi tổng

Mỗi số hạng có dạng:

\(\frac{1}{\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 3 \left.\right)} \text{v}ớ\text{i} k = 0 , 1 , 2 , . . . , x\)

Ta phân tích thành phân tích thành phân số đơn giản:

\(\frac{1}{\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 3 \left.\right)} = \frac{A}{2 k + 1} + \frac{B}{2 k + 3}\)

Nhân hai vế với \(\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 3 \left.\right)\):

\(1 = A \left(\right. 2 k + 3 \left.\right) + B \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)\)

Khi \(k = - \frac{1}{2}\), bên trái vẫn 1, bên phải:

\(1 = A \left(\right. 2 \cdot - \frac{1}{2} + 3 \left.\right) + B \left(\right. 0 \left.\right) = A \left(\right. 2 \left.\right) \Rightarrow A = \frac{1}{2}\)

Khi \(k = - \frac{3}{2}\), thì

\(1 = A \left(\right. 0 \left.\right) + B \left(\right. 2 \cdot - \frac{3}{2} + 1 \left.\right) = B \left(\right. - 2 \left.\right) \Rightarrow B = - \frac{1}{2}\)

Vậy

\(\frac{1}{\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 3 \left.\right)} = \frac{1 / 2}{2 k + 1} - \frac{1 / 2}{2 k + 3} = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3} \left.\right)\)

Bước 2: Viết tổng

Tổng từ \(k = 0\) đến \(k = x\):

\(S = \sum_{k = 0}^{x} \frac{1}{\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 3 \left.\right)} = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{x} \left(\right. \frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 3} \left.\right)\)

Bước 3: Tính tổng theo kiểu rút gọn

\(S = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \hdots + \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 3} \left.\right)\)

Các số hạng bên trong hầu hết triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:

\(S = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{2 x + 3} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 1 - \frac{1}{2 x + 3} \left.\right) = \frac{1}{2} \times \frac{2 x + 3 - 1}{2 x + 3} = \frac{1}{2} \times \frac{2 x + 2}{2 x + 3} = \frac{x + 1}{2 x + 3}\)

Bước 4: Giải phương trình

Ta có

\(S = \frac{x + 1}{2 x + 3} = \frac{100}{609}\)

Giải:

\(609 \left(\right. x + 1 \left.\right) = 100 \left(\right. 2 x + 3 \left.\right)\)\(609 x + 609 = 200 x + 300\)\(609 x - 200 x = 300 - 609\)\(409 x = - 309\)\(x = - \frac{309}{409}\)

\(x\) không phải số tự nhiên vì âm.

Kiểm tra lại kết quả:

Bạn cho tổng bằng \(\frac{100}{609}\) hay \(\frac{609}{100}\)? Bạn ghi hơi lộn xộn.

Nếu là:

\(\sum_{k = 0}^{x} \frac{1}{\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) \left(\right. 2 k + 3 \left.\right)} = \frac{609}{100}\)

Thì với công thức

\(\frac{x + 1}{2 x + 3} = \frac{609}{100}\)

Ta có:

\(100 \left(\right. x + 1 \left.\right) = 609 \left(\right. 2 x + 3 \left.\right)\)\(100 x + 100 = 1218 x + 1827\)\(1218 x - 100 x = 1827 - 100\)\(1118 x = 1727\)

\(x\) không là số nguyên.

Kết luận:

Với biểu thức tổng rút gọn là \(\frac{x + 1}{2 x + 3}\), tổng phải nhỏ hơn 1.

Do đó tổng phải là phân số nhỏ hơn 1.

Nếu bạn cho tổng là \(\frac{100}{609}\), tức khoảng 0.164, ta giải:

\(\frac{x + 1}{2 x + 3} = \frac{100}{609}\)

Nhân chéo:

\(609 \left(\right. x + 1 \left.\right) = 100 \left(\right. 2 x + 3 \left.\right)\)\(609 x + 609 = 200 x + 300\)\(409 x = - 309\)

Không có \(x \in \mathbb{N}\).

Nếu tổng là \(\frac{609}{100}\), khoảng 6.09, không hợp lý vì tổng biểu thức dạng trên nhỏ hơn 1.

Vậy đề bài có thể bị nhầm lẫn về giá trị tổng. Bạn kiểm tra lại nhé!

Câu 7

Tham khảo

Giả sử đề bài là:

Cho tam giác \(A B C\) với \(A B > A C\). Lấy \(E , M , D\) lần lượt là trung điểm của \(A B , B C , C A\).

a) Chứng minh tứ giác \(E D C M\) là hình bình hành.

b) Kẻ điểm \(K\) trên đoạn \(B C\) sao cho \(K\) vuông góc với \(B C\) (câu này hơi khó hiểu, có thể ý bạn là kẻ đường thẳng \(K\) vuông góc với \(B C\) tại điểm \(K\) thuộc đoạn \(B C\)), chứng minh tứ giác \(E D M K\) là hình thang cân.

Nếu đúng như trên, mình sẽ giải theo giả thiết này nhé.

Phần a) Chứng minh tứ giác \(E D C M\) là hình bình hành

Bước 1: Xác định các điểm

• \(E\) là trung điểm \(A B\)
• \(M\) là trung điểm \(B C\)
• \(D\) là trung điểm \(C A\)
• \(C\) là đỉnh tam giác

Bước 2: Phân tích tứ giác \(E D C M\)

Tứ giác có các đỉnh: \(E , D , C , M\).

Ta cần chứng minh \(E D C M\) là hình bình hành, tức hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau:

• \(E D \parallel C M\) và \(E D = C M\)
• \(D C \parallel E M\) và \(D C = E M\)

Bước 3: Sử dụng vectơ

Gọi vectơ \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{b}\), \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{c}\), điểm \(A\) là gốc tọa độ.

• \(E\) trung điểm \(A B \Rightarrow \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2}\)
• \(M\) trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(D\) trung điểm \(C A \Rightarrow \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{A}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c} + \overset{⃗}{0}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(C = \overset{⃗}{c}\)

Bây giờ tính các vectơ cạnh của tứ giác \(E D C M\):

• \(\overset{⃗}{E D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2} - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b}}{2}\)
• \(\overset{⃗}{C M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2} - \overset{⃗}{c} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} - 2 \overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}}{2} = - \overset{⃗}{E D}\)

Do đó,

\(\overset{⃗}{E D} = - \overset{⃗}{C M} \Rightarrow E D \parallel C M \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; E D = C M\)

• \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{c} - \frac{\overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(\overset{⃗}{E M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2} - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2}\)

Do đó,

\(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{E M} \Rightarrow D C \parallel E M \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; D C = E M\)

Kết luận:

Hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên tứ giác \(E D C M\) là hình bình hành.

Phần b) Chứng minh \(E D M K\) là hình thang cân

Bạn nói: "Kẻ \(K\) vuông góc với \(B C\), \(K\) thuộc \(B C\)", ý mình đoán là bạn kẻ điểm \(K\) trên đoạn \(B C\) sao cho đường thẳng \(A K\) vuông góc với \(B C\).

Bước 1: Đặt \(K\) là chân đường vuông góc từ \(A\) xuống \(B C\)

• \(K\) là điểm thuộc \(B C\) sao cho \(A K \bot B C\).

Bước 2: Tứ giác \(E D M K\) gồm các điểm:

• \(E\) trung điểm \(A B\)
• \(D\) trung điểm \(C A\)
• \(M\) trung điểm \(B C\)
• \(K\) chân vuông góc từ \(A\) xuống \(B C\)

Bước 3: Chứng minh \(E D M K\) là hình thang cân

• Để chứng minh tứ giác \(E D M K\) là hình thang cân, ta cần chứng minh:
• • Có một cặp cạnh đối song song (thang)
  • Hai cạnh bên bằng nhau (cân)

Bước 4: Phân tích

• \(M\) và \(K\) đều nằm trên \(B C\), nên \(M K \parallel E D\) (điều này cần chứng minh)
• Sử dụng vectơ:

Tính vectơ \(\overset{⃗}{M K}\) và \(\overset{⃗}{E D}\):

• \(\overset{⃗}{E D} = \frac{\overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b}}{2}\) (như trên)
• \(M\) trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(K\) thuộc \(B C\), có thể biểu diễn: \(\overset{⃗}{K} = \overset{⃗}{b} + t \left(\right. \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\), với \(0 \leq t \leq 1\)
• Vectơ \(\overset{⃗}{M K} = \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{M} = \overset{⃗}{b} + t \left(\right. \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2} = \left(\right. t - \frac{1}{2} \left.\right) \left(\right. \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\)

Do đó, \(\overset{⃗}{M K}\) song song với \(\overset{⃗}{E D}\), nên \(E D \parallel M K\).

Bước 5: Chứng minh \(E D M K\) là hình thang cân

• Cặp cạnh \(E D\) và \(M K\) song song → \(E D M K\) là hình thang.
• Ta cần chứng minh \(E M = D K\) (hoặc \(E D = M K\)) để thang cân.

Bạn có thể tính độ dài \(E M\) và \(D K\) hoặc \(E D\) và \(M K\) chứng minh bằng vectơ.

Tham khảo

Giả sử đề bài là:

Cho tam giác \(A B C\) với \(A B > A C\). Lấy \(E , M , D\) lần lượt là trung điểm của \(A B , B C , C A\).

a) Chứng minh tứ giác \(E D C M\) là hình bình hành.

b) Kẻ điểm \(K\) trên đoạn \(B C\) sao cho \(K\) vuông góc với \(B C\) (câu này hơi khó hiểu, có thể ý bạn là kẻ đường thẳng \(K\) vuông góc với \(B C\) tại điểm \(K\) thuộc đoạn \(B C\)), chứng minh tứ giác \(E D M K\) là hình thang cân.

Nếu đúng như trên, mình sẽ giải theo giả thiết này nhé.

Phần a) Chứng minh tứ giác \(E D C M\) là hình bình hành

Bước 1: Xác định các điểm

• \(E\) là trung điểm \(A B\)
• \(M\) là trung điểm \(B C\)
• \(D\) là trung điểm \(C A\)
• \(C\) là đỉnh tam giác

Bước 2: Phân tích tứ giác \(E D C M\)

Tứ giác có các đỉnh: \(E , D , C , M\).

Ta cần chứng minh \(E D C M\) là hình bình hành, tức hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau:

• \(E D \parallel C M\) và \(E D = C M\)
• \(D C \parallel E M\) và \(D C = E M\)

Bước 3: Sử dụng vectơ

Gọi vectơ \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{b}\), \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{c}\), điểm \(A\) là gốc tọa độ.

• \(E\) trung điểm \(A B \Rightarrow \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b}}{2}\)
• \(M\) trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(D\) trung điểm \(C A \Rightarrow \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{A}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c} + \overset{⃗}{0}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(C = \overset{⃗}{c}\)

Bây giờ tính các vectơ cạnh của tứ giác \(E D C M\):

• \(\overset{⃗}{E D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2} - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b}}{2}\)
• \(\overset{⃗}{C M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2} - \overset{⃗}{c} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} - 2 \overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}}{2} = - \overset{⃗}{E D}\)

Do đó,

\(\overset{⃗}{E D} = - \overset{⃗}{C M} \Rightarrow E D \parallel C M \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; E D = C M\)

• \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{c} - \frac{\overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(\overset{⃗}{E M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2} - \frac{\overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{c}}{2}\)

Do đó,

\(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{E M} \Rightarrow D C \parallel E M \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; D C = E M\)

Kết luận:

Hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên tứ giác \(E D C M\) là hình bình hành.

Phần b) Chứng minh \(E D M K\) là hình thang cân

Bạn nói: "Kẻ \(K\) vuông góc với \(B C\), \(K\) thuộc \(B C\)", ý mình đoán là bạn kẻ điểm \(K\) trên đoạn \(B C\) sao cho đường thẳng \(A K\) vuông góc với \(B C\).

Bước 1: Đặt \(K\) là chân đường vuông góc từ \(A\) xuống \(B C\)

• \(K\) là điểm thuộc \(B C\) sao cho \(A K \bot B C\).

Bước 2: Tứ giác \(E D M K\) gồm các điểm:

• \(E\) trung điểm \(A B\)
• \(D\) trung điểm \(C A\)
• \(M\) trung điểm \(B C\)
• \(K\) chân vuông góc từ \(A\) xuống \(B C\)

Bước 3: Chứng minh \(E D M K\) là hình thang cân

• Để chứng minh tứ giác \(E D M K\) là hình thang cân, ta cần chứng minh:
• • Có một cặp cạnh đối song song (thang)
  • Hai cạnh bên bằng nhau (cân)

Bước 4: Phân tích

• \(M\) và \(K\) đều nằm trên \(B C\), nên \(M K \parallel E D\) (điều này cần chứng minh)
• Sử dụng vectơ:

Tính vectơ \(\overset{⃗}{M K}\) và \(\overset{⃗}{E D}\):

• \(\overset{⃗}{E D} = \frac{\overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b}}{2}\) (như trên)
• \(M\) trung điểm \(B C \Rightarrow \overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2}\)
• \(K\) thuộc \(B C\), có thể biểu diễn: \(\overset{⃗}{K} = \overset{⃗}{b} + t \left(\right. \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\), với \(0 \leq t \leq 1\)
• Vectơ \(\overset{⃗}{M K} = \overset{⃗}{K} - \overset{⃗}{M} = \overset{⃗}{b} + t \left(\right. \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{2} = \left(\right. t - \frac{1}{2} \left.\right) \left(\right. \overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b} \left.\right)\)

Do đó, \(\overset{⃗}{M K}\) song song với \(\overset{⃗}{E D}\), nên \(E D \parallel M K\).

Bước 5: Chứng minh \(E D M K\) là hình thang cân

• Cặp cạnh \(E D\) và \(M K\) song song → \(E D M K\) là hình thang.
• Ta cần chứng minh \(E M = D K\) (hoặc \(E D = M K\)) để thang cân.

Bạn có thể tính độ dài \(E M\) và \(D K\) hoặc \(E D\) và \(M K\) chứng minh bằng vectơ.

Hmm

Nếu bạn là VIP thì được đổi tên lần nữa, nhưng bạn không phải VIP thì chỉ được đổi tên 1 lần.

Tháng này bn hết lượt đổi tên