Ko

Tham khảo

Bạn đưa ra đề bài như sau:

Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Trước tiên, mình hiểu đề bạn muốn nói là:

Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Bước 1: Phân tích giả thiết

Giả thiết:

\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)

Nhân hai vế với \(a b + b c + c a\), ta được:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)

Bước 2: Chúng ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Viết dưới dạng đồng mẫu:

\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Tức là:

\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)

Suy ra:

\(\left(\right. b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3} \left.\right) \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) = a^{3} b^{3} c^{3}\)

Bước 3: Đặt

\(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\)

Ta cần chứng minh:

\(\left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) \left(\right. X + Y + Z \left.\right) = X Y Z\)

Bước 4: So sánh với giả thiết ban đầu

Ở giả thiết ban đầu, ta có:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)

Nhưng ở đây, biến thành:

\(\left(\right. X + Y + Z \left.\right) \left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) = X Y Z\)

Với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\).

Bước 5: Kết luận

Như vậy, giả thiết ban đầu đúng với \(a , b , c\) thì với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\) cũng thỏa mãn giả thiết tương tự. Vậy công thức bạn muốn chứng minh là đúng dựa trên giả thiết cho trước.

Tham khảo

0. She passed for the pottery workshop to her son.

Lỗi: "for"
Sửa: She passed on the pottery workshop to her son.

1. I’ve looked into the product catalogue and decided to buy the table.

Lỗi: "looked into" (nghĩa không đúng trong ngữ cảnh)
Sửa: I’ve looked through the product catalogue and decided to buy the table.

2. This projector is more user-friendly, but costs two as much as the other one.

Lỗi: "two as much"
Sửa: This projector is more user-friendly, but costs twice as much as the other one.

3. Los Angeles is the most populous city in and the first most city in the USA, following behind New York.

Lỗi: "in and the first most city"
Sửa: Los Angeles is the most populous city in the USA, second only to New York.

4. You are asked to fix a broken bicycle chain and you wonder what to do. You may take your temper over on the bicycle.

Lỗi: "take your temper over on"
Sửa: You may take your time over the bicycle.

5. You may feel leave-out when someone comments on your appearance in the time of your adolescence.

Lỗi: "leave-out"
Sửa: You may feel left out when someone comments on your appearance in the time of your adolescence.

6. Linda is stressful because she is facing a rainy day tomorrow.

Lỗi: "stressful" (tính từ miêu tả vật, không dùng cho người)
Sửa: Linda is stressed because she is facing a rainy day tomorrow.

7. We have understood that protecting natural wonders have many benefits.

Lỗi: "have" (sai số nhiều/số ít)
Sửa: We have understood that protecting natural wonders has many benefits.

8. I am tired of being told all the time what to do, and when doing it.

Lỗi: "when doing it" (câu không rõ nghĩa)
Sửa: I am tired of being told all the time what to do, and how to do it.

9. In my opinion, Phong Nha cavern is enough beautiful to be a world wonder.

Lỗi: "enough beautiful" (trật tự từ)
Sửa: In my opinion, Phong Nha cavern is beautiful enough to be a world wonder.

10. There were used to be an increase in road- accidents in the last few years.

Lỗi: "were used to be"
Sửa: There used to be an increase in road accidents in the last few years.

Tham khảo

Bạn ơi, câu hỏi có vẻ thiếu một số thông tin hoặc có nhầm lẫn nhỏ trong phần mô tả (như “trung điểm của \(B C\)” — chưa biết điểm \(C\) ở đâu), nên mình sẽ giả sử và giải bài theo cách thông thường nhất liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến, và trục đối xứng nhé!

Giả sử đề bài như sau:

Cho đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\) và một đường thẳng \(x\) cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Gọi \(y\) là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(A B\) và vuông góc với \(A B\).

Chứng minh: Đường thẳng \(y\) là trục đối xứng của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

Lời giải:

1. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(A B\).
2. Vì \(A , B\) thuộc đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\), ta có:

\(O A = O B = R\)

1. Đường thẳng \(y\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(A B\). Đây là đường trung trực của đoạn \(A B\).
2. Vì \(O\) nằm trên đường trung trực của \(A B\) (vì \(O A = O B\)) nên \(O\) cũng nằm trên đường thẳng \(y\).
3. Đường thẳng \(y\) đi qua tâm \(O\) và vuông góc với \(A B\), nên \(y\) là trục đối xứng của đoạn \(A B\).
4. Vì đường tròn là hình tròn tâm \(O\), có tính đối xứng trục qua mọi đường thẳng đi qua \(O\).
5. Như vậy, \(y\) là trục đối xứng của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

Kết luận:

• Đường thẳng đi qua trung điểm \(M\) của đoạn \(A B\) và vuông góc với \(A B\) là trục đối xứng của đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\).

Đỉnh

Tham khảo

Đề bài:

\(P = x^{100} - 100 x^{99} + 100 x^{98} - 100 x^{97} + \hdots - 100 x + 2124\)

với \(x = 99\). Tính giá trị \(P\).

Bước 1: Phân tích biểu thức

Biểu thức gồm:

• \(x^{100}\)
• Các số hạng có dạng \(\pm 100 x^{k}\) với \(k = 99 , 98 , 97 , . . . , 1\)
• Hằng số \(2124\)

Nhìn kỹ, các số hạng từ \(x^{99}\) đến \(x\) đều có hệ số \(- 100\) hoặc \(+ 100\) xen kẽ dấu âm dương.

Bước 2: Viết lại biểu thức rõ ràng hơn

Ta có thể tách biểu thức như sau:

\(P = x^{100} + \sum_{k = 99 , 97 , 95 , . . .}^{1} 100 x^{k} - \sum_{k = 99 , 98 , 96 , 94 , . . .}^{2} 100 x^{k} + 2124\)

Nhưng câu hỏi có dấu trừ \(- 100 x^{99} + 100 x^{98} - 100 x^{97} + \hdots\), tức dấu thay đổi từng số hạng.

Cụ thể:

• Số hạng thứ 1: \(x^{100}\)
• Số hạng thứ 2: \(- 100 x^{99}\)
• Số hạng thứ 3: \(+ 100 x^{98}\)
• Số hạng thứ 4: \(- 100 x^{97}\)
• ... cứ thế tiếp tục xen kẽ dấu âm dương cho đến \(- 100 x\)
• Cuối cùng cộng \(2124\)

Bước 3: Tách tổng thành hai phần:

Gọi

\(S = \sum_{k = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} 100 x^{100 - k}\)

Ta có:

\(P = x^{100} + S + 2124\)

Bước 4: Viết \(S\) như sau:

\(S = 100 \sum_{k = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} x^{100 - k} = 100 \sum_{m = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{m} x^{100 - m}\)

Thay đổi chỉ số:
Gọi \(j = 100 - m\), khi \(m = 1 \Rightarrow j = 99\), khi \(m = 99 \Rightarrow j = 1\)

Vậy:

\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{100 - j} x^{j}\)

Nhưng \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{100 - j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{100} \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = 1 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{j}\) (vì \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{j}\)).

Nên:

\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} x^{j}\)

Bước 5: Thay \(x = 99\):

\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} 99^{j}\)

Bước 6: Tính tổng:

\(\sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} 99^{j} = - 99 + 99^{2} - 99^{3} + 99^{4} - \hdots + \left(\right. - 1 \left.\right)^{99} 99^{99}\)

Bước 7: Nhận xét

Đây là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu:

\(a_{1} = - 99\)

Tỷ số công:

\(r = - 99\)

Số hạng tổng:

\(n = 99\)

Tổng của cấp số nhân:

\(S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{1 + 99} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{100}\)

Bước 8: Tính \(S\):

\(S = 100 \times S_{n} = 100 \times \left(\right. \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{100} \left.\right) = - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99} \left.\right)\)

Bước 9: Tính \(P\):

\(P = x^{100} + S + 2124 = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99} \left.\right) + 2124\)

Bước 10: Chú ý về dấu lũy thừa \(\left(\right. - 99 \left.\right)^{99}\):

\(\left(\right. - 99 \left.\right)^{99} = - \left(\right. 99 \left.\right)^{99}\)

Vậy:

\(P = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - \left(\right. 99 \left.\right)^{99} \left.\right) \left.\right) + 2124 = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 + 99^{99} \left.\right) + 2124\)

Bước 11: Phân tích thêm

\(P = 99^{100} - 99 - 99 \times 99^{99} + 2124 = 99^{100} - 99 \times 99^{99} - 99 + 2124\)

Bước 12: Nhận xét

Lưu ý:

\(99^{100} = 99 \times 99^{99}\)

Nên:

\(P = \left(\right. 99 \times 99^{99} \left.\right) - 99 \times 99^{99} - 99 + 2124 = 0 - 99 + 2124 = 2124 - 99 = \boxed{2025}\)

Kết luận:

\(\boxed{P = 2025}\)