Tham khảo

Cho tam giác \(A B C\) có ba cạnh, trong đó:

• Một cạnh là 3
• Một cạnh là 4
• Cạnh còn lại là bao nhiêu?

Biết tam giác trên là tam giác vuông.

Giải:

Gọi ba cạnh là \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = ?\) (cạnh cần tìm).

Vì tam giác vuông, theo định lý Pythagoras:

\(\left((\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n})\right)^{2} = \left(\right. \text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{th}ứ\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t} \left.\right)^{2} + \left(\right. \text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{th}ứ\&\text{nbsp};\text{hai} \left.\right)^{2}\)

Trường hợp 1: Cạnh huyền là \(c\)

\(c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c = 5\)

Trường hợp 2: Nếu \(c = 3\) hoặc \(c = 4\) mà bạn không cho biết rõ, thì không đúng vì 3 và 4 đều nhỏ hơn 5.

Kết luận:

Cạnh còn lại bằng 5 để tam giác \(A B C\) là tam giác vuông với hai cạnh 3 và 4.

Tham khảo

Cho tập \(A , B , C\) là ba tập con của tập \(E\).

1) Chứng minh:

\(A \cap B \left(\right. B \cup C \left.\right) = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)\)

Cách hiểu và viết đúng dấu:

Đây có thể là:

\(A \cap B \cap \left(\right. B \cup C \left.\right) = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)\)

Nhưng biểu thức bạn viết có thể bị nhầm chỗ dấu ngoặc.

Có thể đúng là:

\(A \cap \left(\right. B \cup C \left.\right) = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)\)

Chứng minh:

Ta chứng minh hai vế bằng nhau:

• Phần tử \(x \in A \cap \left(\right. B \cup C \left.\right)\) nghĩa là:
  \(x \in A\) và \(x \in B \cup C\) (tức \(x \in B\) hoặc \(x \in C\)).
• Vậy \(x \in A\) và \(x \in B\), hoặc \(x \in A\) và \(x \in C\).
• Tức \(x \in \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)\).

Ngược lại, nếu \(x \in \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)\) thì:

• \(x \in A \cap B\) hoặc \(x \in A \cap C\).
• Vậy \(x \in A\) và \(x \in B\), hoặc \(x \in A\) và \(x \in C\).
• Tức \(x \in A\) và \(x \in B \cup C\), hay \(x \in A \cap \left(\right. B \cup C \left.\right)\).

Vậy:

\(\boxed{A \cap \left(\right. B \cup C \left.\right) = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)}\)

2) Chứng minh:

\(C_{E} \left(\right. A \cup B \left.\right) = \left(\right. C_{E} A \left.\right) \cap \left(\right. C_{E} B \left.\right)\)

Ở đây \(C_{E} A\) là phần bù của \(A\) trong \(E\) (ký hiệu thường là \(A^{c}\) hoặc \(E \backslash A\)).

Phát biểu đúng:

\(\text{Ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\text{u}} \&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \left(\right. A \cup B \left.\right) \&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; E = \left(\right. \text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\text{u}} \&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A \&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; E \left.\right) \cap \left(\right. \text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\text{u}} \&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B \&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; E \left.\right)\)

Tức là:

\(\left(\right. E \backslash \left(\right. A \cup B \left.\right) \left.\right) = \left(\right. E \backslash A \left.\right) \cap \left(\right. E \backslash B \left.\right)\)

Chứng minh:

• Nếu \(x \in E \backslash \left(\right. A \cup B \left.\right)\) thì \(x \in E\) và \(x \notin A \cup B\).
• \(x \notin A\) và \(x \notin B\) (vì nếu có trong \(A\) hoặc \(B\) thì trong \(A \cup B\)).
• Vậy \(x \in E \backslash A\) và \(x \in E \backslash B\), nghĩa là \(x \in \left(\right. E \backslash A \left.\right) \cap \left(\right. E \backslash B \left.\right)\).

Ngược lại, nếu \(x \in \left(\right. E \backslash A \left.\right) \cap \left(\right. E \backslash B \left.\right)\) thì:

• \(x \in E \backslash A\) và \(x \in E \backslash B\), tức \(x \in E\), \(x \notin A\), \(x \notin B\).
• Vậy \(x \notin A \cup B\), tức \(x \in E \backslash \left(\right. A \cup B \left.\right)\).

Vậy:

\(\boxed{E \backslash \left(\right. A \cup B \left.\right) = \left(\right. E \backslash A \left.\right) \cap \left(\right. E \backslash B \left.\right)}\)

Tóm lại:

• Đẳng thức 1: \(A \cap \left(\right. B \cup C \left.\right) = \left(\right. A \cap B \left.\right) \cup \left(\right. A \cap C \left.\right)\) (Phân phối giao với hợp)
• Đẳng thức 2: \(E \backslash \left(\right. A \cup B \left.\right) = \left(\right. E \backslash A \left.\right) \cap \left(\right. E \backslash B \left.\right)\) (Phần bù của hợp bằng giao phần b

Hi

tham khảo

Đề bài:
Cho hình bình hành \(A B C D\); lấy điểm \(E\) thuộc \(A D\), điểm \(F\) thuộc \(B C\) sao cho \(A E = C F\).
Chứng minh: tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành.

Lời giải:

Ý tưởng:
Để chứng minh tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành, ta có thể chứng minh 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau hoặc chứng minh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm.

Bước 1: Gọi tọa độ các điểm (hoặc dùng vectơ):

Giả sử vectơ:

• \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{u}\)
• \(\overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{v}\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên:

• \(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{v}\)
• \(\overset{⃗}{D C} = \overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{u}\)

Bước 2: Viết tọa độ điểm \(E\) và \(F\):

• \(E\) thuộc đoạn \(A D\), nên có vectơ:

\(\overset{⃗}{A E} = t \overset{⃗}{A D} = t \overset{⃗}{v} , 0 \leq t \leq 1\)

• \(F\) thuộc đoạn \(B C\), nên:

\(\overset{⃗}{B F} = s \overset{⃗}{B C} = s \overset{⃗}{v} , 0 \leq s \leq 1\)

Bước 3: Điều kiện \(A E = C F\):

• Độ dài \(A E = \mid \overset{⃗}{A E} \mid = t \mid \overset{⃗}{v} \mid\)
• Độ dài \(C F = \mid \overset{⃗}{C F} \mid\)

Vectơ \(\overset{⃗}{C F} = \overset{⃗}{C B} + \overset{⃗}{B F} = - \overset{⃗}{B C} + \overset{⃗}{B F} = - \overset{⃗}{v} + s \overset{⃗}{v} = \left(\right. s - 1 \left.\right) \overset{⃗}{v}\)

Do đó:

\(C F = \mid \left(\right. s - 1 \left.\right) \overset{⃗}{v} \mid = \mid s - 1 \mid \cdot \mid \overset{⃗}{v} \mid\)

Điều kiện \(A E = C F\) tương đương:

\(t \mid \overset{⃗}{v} \mid = \mid s - 1 \mid \mid \overset{⃗}{v} \mid \Rightarrow t = \mid s - 1 \mid\)

Bước 4: Chứng minh \(A E C F\) là hình bình hành

Ta xét vectơ:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A C} - \overset{⃗}{A E}\)\(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B F} = \overset{⃗}{u} + s \overset{⃗}{v}\)

Chúng ta sẽ chứng minh:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A F}\)

Điều này sẽ chứng minh \(A E C F\) là hình bình hành vì hai vectơ này là hai cạnh đối của tứ giác.

Tính từng vectơ:

• \(\overset{⃗}{A C} = \overset{⃗}{A B} + \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v}\)
• \(\overset{⃗}{A E} = t \overset{⃗}{v}\)

Vậy:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A C} - \overset{⃗}{A E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} \left.\right) - t \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{v}\)

Như vậy:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{u} + \left(\right. 1 - t \left.\right) \overset{⃗}{v}\)

Còn:

\(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{u} + s \overset{⃗}{v}\)

Như vậy, để \(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A F}\), cần:

\(s = 1 - t\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện \(t = \mid s - 1 \mid\) và \(s = 1 - t\):

Nếu \(s = 1 - t\), thì:

\(\mid s - 1 \mid = \mid 1 - t - 1 \mid = \mid - t \mid = t\)

Vậy điều kiện \(t = \mid s - 1 \mid\) hoàn toàn phù hợp.

Kết luận:

• Với \(E\) và \(F\) thỏa mãn \(A E = C F\) (tức \(t = \mid s - 1 \mid\)), ta có:

\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{A F}\)

• Do đó, tứ giác \(A E C F\) có hai vectơ đối diện bằng nhau, nên \(A E C F\) là hình bình hành.

?

0

?