Câu 7:

Bài toán:
Giá bán 1 chiếc cặp sách là 450.000 đồng. Cửa hàng lãi 12,5% so với giá mua.
Hỏi giá mua 1 chiếc cặp sách là bao nhiêu?

Bước 1: Gọi \(x\) là giá mua 1 chiếc cặp sách.

Bước 2: Cửa hàng lãi 12,5% tức là giá bán bằng giá mua cộng thêm 12,5% giá mua, tức:

\(\text{Gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{n} = x + 12 , 5 \% \times x = x \times \left(\right. 1 + 0 , 125 \left.\right) = 1 , 125 x\)

Bước 3: Giá bán đã cho là 450.000 đồng, nên:

\(1 , 125 x = 450.000\)

Bước 4: Giải phương trình:

\(x = \frac{450.000}{1 , 125} = 400.000 \&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\)

Đáp số: Giá mua 1 chiếc cặp sách là 400.000 đồng.

Câu 8:

Bài toán:

• Thửa ruộng hình thang có đáy lớn \(= 150 \textrm{ } m\).
• Đáy bé bằng \(-\) đáy lớn (ý ở đây có thể là đáy bé nhỏ hơn đáy lớn một khoảng nào đó, mình đoán đề thiếu, mình sửa thành: Đáy bé bằng đáy lớn trừ một số, hoặc đáy bé bằng đáy lớn trừ 3 lần chiều cao).
• Đáy bé hơn đáy lớn 3 chiều cao 15m (ý là đáy bé = đáy lớn - 3 × chiều cao).
• Trung bình cứ 100 m² thu hoạch được 74,5 kg thóc.

Hãy tính số kg thóc thu hoạch được trên thửa ruộng đó.

Bước 1: Gọi chiều cao hình thang là \(h = 15\) m.

Theo đề:

\(đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˊ}{\text{e}} = đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}\&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n} - 3 \times h = 150 - 3 \times 15 = 150 - 45 = 105 \textrm{ } m\)

Bước 2: Tính diện tích thửa ruộng (diện tích hình thang):

\(S = \frac{\left(\right. đ \overset{ˊ}{a} y l ớ n + đ \overset{ˊ}{a} y b \overset{ˊ}{e} \left.\right)}{2} \times c h i \overset{ˋ}{\hat{e}} u c a o = \frac{150 + 105}{2} \times 15 = \frac{255}{2} \times 15 = 127 , 5 \times 15 = 1912 , 5 \textrm{ } m^{2}\)

Bước 3: Tính số kg thóc thu hoạch được trên diện tích 1912,5 m².

Trung bình 100 m² thu hoạch được 74,5 kg, vậy 1912,5 m² thu hoạch được:

\(\frac{74 , 5}{100} \times 1912 , 5 = 0 , 745 \times 1912 , 5 = 1423 , 81 \textrm{ } \text{kg}\)

Đáp số: Số thóc thu hoạch được khoảng 1423,81 kg.

Tham khảo

Cho bài toán:

Tìm các số nguyên \(a , b , c\) sao cho:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2024^{a} + 2025^{a}\)

Phân tích:

• Vế trái là tổng ba giá trị tuyệt đối, luôn không âm.
• Vế phải là tổng hai số mũ với cơ số lớn \(2024\) và \(2025\), lũy thừa \(a\).
• \(a , b , c \in \mathbb{Z}\) (số nguyên).

Bước 1: Bất đẳng thức về tổng các giá trị tuyệt đối

Ta có:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid \geq \mid a - c \mid\)

Do đó:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid \geq \mid a - c \mid + \mid c - a \mid = 2 \mid a - c \mid\)

Nhưng bên trái thực ra bằng:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2 \times (\text{kho}ả\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ\text{a}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp}; a , b , c )\)

Cụ thể, vì tổng ba giá trị tuyệt đối của 3 điểm trên trục số là gấp đôi độ dài đoạn thẳng lớn nhất giữa chúng.

Bước 2: Xét vế phải

• Nếu \(a < 0\), thì \(2024^{a}\) và \(2025^{a}\) là các số phân số rất nhỏ (dương) do số mũ âm.
• Nếu \(a = 0\), thì:

\(2024^{0} + 2025^{0} = 1 + 1 = 2\)

• Nếu \(a > 0\), thì \(2024^{a} + 2025^{a}\) là số rất lớn, nhanh tăng.

Bước 3: So sánh quy mô hai vế

• Vế trái là số nguyên không âm, ít nhất là 0.
• Vế phải là số dương (do lũy thừa dương), rất lớn nếu \(a > 0\).

Bước 4: Xét từng trường hợp

• Trường hợp \(a < 0\):

Vế phải là số nhỏ hơn 2 (do \(2024^{a} , 2025^{a} < 1\)), còn vế trái là số nguyên không âm (phải là số nguyên, vì \(a , b , c\) nguyên), nên vế trái ít nhất bằng 0. Rất khó bằng một số phân số nhỏ.

• Trường hợp \(a = 0\):

Vế phải là \(2\).

Vậy:

\(\mid a - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - a \mid = 2\)

Vì \(a = 0\), thì \(a = 0\).

Ta cần tìm \(b , c\) nguyên sao cho:

\(\mid 0 - b \mid + \mid b - c \mid + \mid c - 0 \mid = 2\)

Cách này ta dễ kiểm tra.

• Gọi \(b = m\), \(c = n\).

Ta có:

\(\mid m \mid + \mid m - n \mid + \mid n \mid = 2\)

Bước 5: Tìm \(m , n\) nguyên thỏa mãn

Ta cần tổng ba giá trị tuyệt đối bằng 2.

• Các giá trị tuyệt đối là không âm, nên tổng ba số này bằng 2 nghĩa là tổng này khá nhỏ.

Thử các trường hợp:

• Nếu \(m = 0\), thì

\(0 + \mid 0 - n \mid + \mid n \mid = \mid n \mid + \mid n \mid = 2 \mid n \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid n \mid = 1\)

• Nếu \(m = 0 , n = \pm 1\) thì tổng đúng bằng 2.
• Nếu \(n = 0\), thì

\(\mid m \mid + \mid m - 0 \mid + 0 = \mid m \mid + \mid m \mid = 2 \mid m \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid m \mid = 1\)

• Nếu \(m = \pm 1 , n = 0\), cũng thỏa.
• Nếu \(m = n\), thì

\(\mid m \mid + 0 + \mid m \mid = 2 \mid m \mid = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \mid m \mid = 1\)

Thí dụ: \(m = n = \pm 1\)

Bước 6: Tổng hợp nghiệm

Với \(a = 0\), \(b , c\) thỏa mãn:

\(\mid b \mid + \mid b - c \mid + \mid c \mid = 2\)

Các bộ nghiệm là:

• \(\left(\right. b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , \pm 1 \left.\right) , \left(\right. \pm 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. \pm 1 , \pm 1 \left.\right)\)

Bước 7: Trường hợp \(a > 0\)

Vế phải rất lớn, vế trái nhỏ nhất là 0 (khi \(a = b = c\)), nhưng không thể bằng một số rất lớn. Do đó, không thỏa.

Kết luận:

• Các số nguyên \(a , b , c\) thỏa mãn phương trình là:

\(a = 0\)

và

\(\mid b \mid + \mid b - c \mid + \mid c \mid = 2\)

Cụ thể các bộ \(\left(\right. b , c \left.\right)\) như trên.

Tham khảo

Đề bài:
Tồn tại hay không các số tự nhiên \(x , y , z\) sao cho

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Phân tích:

• \(x , y , z \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, tức là \(0 , 1 , 2 , 3 , \ldots\)).
• Vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối, mỗi giá trị tuyệt đối có giá trị không âm và tương đối nhỏ nếu \(x , y , z\) nhỏ.
• Vế phải là tổng các số mũ với cơ số lớn (9, 11, 13) và lũy thừa theo \(x , y , z\), sẽ tăng rất nhanh khi \(x , y , z\)tăng.

Bước 1: So sánh quy mô 2 vế

• Vế trái:

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid \leq \mid x \mid + 3 \mid y \mid + \mid y \mid + 5 \mid z \mid + \mid z \mid + 7 \mid x \mid = 8 \mid x \mid + 4 \mid y \mid + 6 \mid z \mid\)

Tức là vế trái lớn nhất cũng chỉ là một số bậc nhất theo \(x , y , z\).

• Vế phải:

\(9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Là hàm số mũ tăng cực nhanh khi \(x , y , z\) tăng.

Bước 2: Kiểm tra trường hợp nhỏ

Thử với \(x = y = z = 0\):

\(\mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid + \mid 0 - 0 \mid = 0\)\(9^{0} + 11^{0} + 13^{0} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 1\):

\(\mid 1 - 3 \mid + \mid 1 - 5 \mid + \mid 1 - 7 \mid = 2 + 4 + 6 = 12\)\(9^{1} + 11^{1} + 13^{1} = 9 + 11 + 13 = 33\)

Không thỏa.

Thử \(x = y = z = 2\):

Vế trái:

\(\mid 2 - 6 \mid + \mid 2 - 10 \mid + \mid 2 - 14 \mid = 4 + 8 + 12 = 24\)

Vế phải:

\(9^{2} + 11^{2} + 13^{2} = 81 + 121 + 169 = 371\)

Không thỏa.

Bước 3: Nhận xét

• Vế phải tăng nhanh hơn vế trái rất nhiều.
• Vì vế trái là hàm tuyến tính (hoặc độ lớn nhất bậc 1), còn vế phải là hàm mũ, nên với \(x , y , z\) lớn, vế phải rất lớn và vế trái rất nhỏ so với vế phải.

Bước 4: Trường hợp vế phải nhỏ nhất

Để vế phải nhỏ nhất, cần \(x = y = z = 0\) (hoặc giá trị nhỏ nhất). Với các giá trị nhỏ đã thử thì không thỏa.

Kết luận:

Không tồn tại các số tự nhiên \(x , y , z\) để

\(\mid x - 3 y \mid + \mid y - 5 z \mid + \mid z - 7 x \mid = 9^{x} + 11^{y} + 13^{z}\)

Tham khảo

Đề bài tóm tắt:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), với \(A B < A C\).
• \(A H\) là đường cao từ \(A\) xuống \(B C\).
• \(D , E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(A B\) và \(A C\).

a) Chứng minh: \(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)

Phân tích:

• \(D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A B\), nên \(H D \bot A B\).
• \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), nên \(H E \bot A C\).
• Ta cần chứng minh tích đoạn thẳng: \(A D \times A B = A E \times A C\).

Cách chứng minh:

1. Xét tam giác vuông \(A B C\) vuông tại \(A\), ta có \(A H\) là đường cao nên các tam giác nhỏ tạo ra đều có tỉ lệ thuận.
2. Vì \(D\) là hình chiếu \(H\) trên \(A B\), nên \(H D \bot A B\), do đó \(H D\) là đường cao trong tam giác \(A H B\). Tương tự \(H E\) là đường cao trong tam giác \(A H C\).
3. Trong tam giác \(A H B\), theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\(A D = A H \cdot cot ⁡ \left(\right. \angle H A B \left.\right)\)

Tương tự trong tam giác \(A H C\):

\(A E = A H \cdot cot ⁡ \left(\right. \angle H A C \left.\right)\)

1. Vì \(A B < A C\) và tam giác vuông tại \(A\), nên \(\angle H A B\) và \(\angle H A C\) liên hệ với các cạnh \(A B , A C\).
2. Từ các góc và tỉ số, ta có:

\(\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}\)

Suy ra:

\(A D \cdot A C = A E \cdot A B\)

Đổi vế thành:

\(A D \cdot A B = A E \cdot A C\)

b) Trên tia đối của tia \(A B\) lấy điểm \(F\) sao cho \(A F < A B\); vẽ hình chữ nhật \(A C G F\), \(B G\)cắt \(A C\) tại \(N\).

Yêu cầu: Chứng minh ...

Tham khảo

Bước 1: Viết lại biểu thức cho rõ hơn:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a^{3}} + b + \frac{1}{b^{3}} + a \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Bước 2: Phân tích biểu thức

Ta có thể viết:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a + b + \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Tách thành 2 phần:

\(P = \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} \left.\right) - \frac{1}{a b}\)

Bước 3: Sử dụng tính chất đối xứng, đặt \(a = b = t > 0\) để tìm giá trị có thể lớn nhất

• Khi \(a = b = t\), biểu thức trở thành:

\(P = \left(\right. t + t \left.\right)^{2} + \left(\right. t + t \left.\right) \left(\right. \frac{1}{t^{3}} + \frac{1}{t^{3}} \left.\right) - \frac{1}{t \cdot t} = \left(\right. 2 t \left.\right)^{2} + 2 t \cdot \frac{2}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}\)\(= 4 t^{2} + 4 \frac{t}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}} = 4 t^{2} + \frac{4}{t^{2}} - \frac{1}{t^{2}} = 4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}}\)

Bước 4: Tìm GTLN của

\(Q = 4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}} , t > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(\frac{4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}}}{2} \geq \sqrt{4 t^{2} \cdot \frac{3}{t^{2}}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\)\(\Rightarrow 4 t^{2} + \frac{3}{t^{2}} \geq 4 \sqrt{3}\)

Bước 5: Kiểm tra giá trị đạt được:

• Đẳng thức xảy ra khi:

\(4 t^{2} = \frac{3}{t^{2}} \Rightarrow 4 t^{4} = 3 \Rightarrow t^{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow t = \sqrt[4]{\frac{3}{4}}\)

• Lúc này

Pmax⁡=43Pmax​=43​

Kết luận:

• Giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\boxed{4 \sqrt{3}}\), đạt được khi \(a = b = \sqrt[4]{\frac{3}{4}}\)

Tham khảo