?

10.000.000 Đơn vị

Tham khảo

Gọi số sản phẩm theo dự định của:

• Tổ A là: x (sản phẩm)
• Tổ B là: y (sản phẩm)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

1. Tổng theo dự định:

\(& x + y = 800 & & (\text{1})\)

1. Tổng thực tế sau khi vượt mức:

• Tổ A vượt 20% ⇒ sản xuất: \(1.2 x\)
• Tổ B vượt 15% ⇒ sản xuất: \(1.15 y\)

Vậy:

\(& 1.2 x + 1.15 y = 935 & & (\text{2})\)

Giải hệ phương trình

Từ (1):

\(y = 800 - x\)

Thay vào (2):

\(1.2 x + 1.15 \left(\right. 800 - x \left.\right) = 935\)\(1.2 x + 920 - 1.15 x = 935\)\(\left(\right. 1.2 - 1.15 \left.\right) x + 920 = 935\)\(0.05 x = 935 - 920 = 15\)\(x = \frac{15}{0.05} = 300\)

⇒ \(y = 800 - 300 = 500\)

✅ Đáp số:

• Tổ A theo dự định sản xuất: 300 sản phẩm
• Tổ B theo dự định sản xuất: 500 sản phẩm

Ko

5

?

Vui

Tham khảo

Ta cần chứng minh rằng:

\(6^{7260} \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp};\text{c}ả\&\text{nbsp}; 7 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; 43.\)

🧠 Ý tưởng giải:

Chứng minh \(6^{7260} \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\) và \(6^{7260} \equiv 0 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\) là sai → vì rõ ràng \(6 < 7\), \(6 < 43\), nên không thể chia hết.

Nhưng có vẻ bạn đang muốn chứng minh:

\(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)

hoặc:

\(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 301 \left.\right)\)

Vì 7 và 43 là các số nguyên tố, và:

\(7 \times 43 = 301\)

✅ Vậy ta sẽ chứng minh:

\(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)

✳️ Bước 1: Chứng minh \(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

Sử dụng Định lý Fermat nhỏ:

Với \(p\) là số nguyên tố và \(a\) không chia hết cho \(p\), thì:

\(a^{p - 1} \equiv 1 \left(\right. m o d p \left.\right)\)

• Với \(a = 6\), \(p = 7\), ta có:

\(6^{6} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

→ Mà \(7260\) chia hết cho \(6\), vì:

\(7260 \div 6 = 1210\)

⇒

\(6^{7260} = \left(\right. 6^{6} \left.\right)^{1210} \equiv 1^{1210} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\)

✳️ Bước 2: Chứng minh \(6^{7260} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)

• \(43\) là số nguyên tố, \(6\) không chia hết cho \(43\)

Áp dụng định lý Fermat:

\(6^{42} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)

Vì:

\(7260 \div 42 = 172.857... \Rightarrow t a k i ể m t r a 7260 c \overset{ˊ}{o} c h i a h \overset{ˊ}{\hat{e}} t c h o 42 k h \hat{o} n g ?\)\(7260 \div 42 = 172.857... \rightarrow k h \hat{o} n g c h i a h \overset{ˊ}{\hat{e}} t !\)

Nhưng ta có thể viết:

\(7260 = 42 \times 172 + 36\)

⇒

\(6^{7260} = \left(\right. 6^{42} \left.\right)^{172} \cdot 6^{36} \equiv 1^{172} \cdot 6^{36} \equiv 6^{36} \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)

Ta cần kiểm tra \(6^{36} m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\). Đây khá lớn, nên thay vì tính trực tiếp, ta dùng chu kỳ modulo.

✳️ Tìm chu kỳ của \(6^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)

Tìm số nhỏ nhất \(k\) sao cho:

\(6^{k} \equiv 1 \left(\right. m o d 43 \left.\right)\)

Tức là tìm bậc của 6 modulo 43.

Ta thử dần:

• \(6^{1} = 6\)
• \(6^{2} = 36\)
• \(6^{3} = 216 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43 = 216 - 5 \times 43 = 1 \Rightarrow 6^{3} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)

→ Vậy:

\(6^{3} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43 \Rightarrow \text{chu}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\text{y}} \&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; 6 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43 = 3\)

Vì chu kỳ là 3, ta chia:

\(7260 \div 3 = 2420 \Rightarrow 6^{7260} = \left(\right. 6^{3} \left.\right)^{2420} \equiv 1^{2420} = 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)

✅ Kết luận:

\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7\)\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)

⇒ Theo định lý Chinese Remainder Theorem, suy ra:

\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 301\)

✅ Trả lời:

6⁷²⁶⁰ chia cho cả 7 và 43 đều dư 1 ⇒ không chia hết, nhưng:

\(6^{7260} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 7 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; m o d \textrm{ } \textrm{ } 43\)