Tham khảo

Bài 1

a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số.

Chứng minh \(8 p + 1\) là số nguyên tố:

• Ta có \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3, vậy \(p \geq 5\).
• Xét biểu thức \(8 p + 1\). Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 41\)
    \(41\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 57\)
    \(57\) không phải là số nguyên tố vì \(57 = 3 \times 19\).
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(8 p + 1 = 8 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 89\)
    \(89\) là số nguyên tố.

Vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(8 p + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi \(p\). Nên bài toán này có thể cần điều kiện bổ sung hoặc có thể có lỗi trong cách đặt bài toán.

Chứng minh \(4 p + 1\) là hợp số:

• Ta có \(p \geq 5\), vậy xét \(4 p + 1\):
• • Nếu \(p = 5\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 5 \left.\right) + 1 = 21\)
    \(21\) là hợp số vì \(21 = 3 \times 7\).
  • Nếu \(p = 7\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 7 \left.\right) + 1 = 29\)
    \(29\) là số nguyên tố.
  • Nếu \(p = 11\), ta có:
    \(4 p + 1 = 4 \left(\right. 11 \left.\right) + 1 = 45\)
    \(45\) là hợp số vì \(45 = 3 \times 15\).

Như vậy, không phải mọi giá trị của \(p\) thỏa mãn điều kiện \(p\) đều tạo ra \(4 p + 1\) là hợp số. Ta không thể chứng minh điều này cho mọi \(p\) mà không có điều kiện bổ sung.

b) Chứng minh \(p\) và \(2 p^{2} + 1\) là các số nguyên tố. Hỏi \(7 p + 2\) là số nguyên tố hay hợp số?

Giả sử \(p\) là số nguyên tố và \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta sẽ thử một số giá trị của \(p\).

• Nếu \(p = 5\), ta có:
  \(2 p^{2} + 1 = 2 \left(\right. 5 \left.\right)^{2} + 1 = 2 \left(\right. 25 \left.\right) + 1 = 51\)
  \(51\) không phải là số nguyên tố vì \(51 = 3 \times 17\).
  Như vậy, không phải mọi \(p\) thỏa mãn điều kiện bài toán đều tạo ra \(2 p^{2} + 1\) là số nguyên tố. Ta không thể chứng minh điều này với mọi giá trị của \(p\).

Bài 2

Cho số tự nhiên \(n > 2\) và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Chứng minh:

• Gọi \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\).
• Ta biết \(p = n^{2} - 1 = \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)\).
• • Nếu \(n\) là số nguyên lớn hơn 2, thì \(p = n^{2} - 1\) sẽ là một tích của hai số nguyên lớn hơn 1, do đó \(p\)là hợp số, không phải là số nguyên tố.
• Do đó, \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố.
• Tiếp theo, ta xét \(q = n^{2} + 1\).
• • \(n^{2} + 1\) có thể là số nguyên tố hoặc hợp số tùy thuộc vào giá trị của \(n\), nhưng không thể có cả \(p = n^{2} - 1\) và \(q = n^{2} + 1\) cùng là số nguyên tố.

Kết luận: Do \(p = n^{2} - 1\) không thể là số nguyên tố, nên \(n^{2} - 1\) và \(n^{2} + 1\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Bài 3

Ta gọi \(p\) và \(q\) là hai số nguyên tố liên tiếp nếu giữa \(p\) và \(q\) không có số nguyên tố nào khác (ví dụ: \(7\) và \(11\) là hai số nguyên tố liên tiếp). Tìm ba số nguyên tố liên tiếp \(p\), \(q\), \(r\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2}\) cũng là số nguyên tố.

Giải:

Ta sẽ thử một số bộ ba số nguyên tố liên tiếp nhỏ:

• Nếu \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\), ta có:
  \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} = 9 + 25 + 49 = 83\)
  \(83\) là số nguyên tố.

Vậy ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) thỏa mãn điều kiện bài toán, vì \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Kết luận: Ba số nguyên tố liên tiếp \(p = 3\), \(q = 5\), \(r = 7\) sao cho \(p^{2} + q^{2} + r^{2} = 83\) là số nguyên tố.

Tham khảo

Để giải bài toán này, ta cần chứng minh rằng nếu \(x\) và \(2 x + 5\) là số nguyên tố, thì \(2 x + 7\) là hợp số.

Phân tích:

1. Cho \(x\) và \(2 x + 5\) là số nguyên tố.
   Điều này có nghĩa là \(x\) là một số nguyên tố và \(2 x + 5\) cũng là một số nguyên tố.
2. Tìm giá trị của \(x\):
   Để \(2 x + 5\) là một số nguyên tố, ta thử một số giá trị của \(x\) là số nguyên tố nhỏ.
3. • Nếu \(x = 2\):
     Ta có \(2 x + 5 = 2 \left(\right. 2 \left.\right) + 5 = 9\), nhưng 9 không phải là một số nguyên tố, vì \(9 = 3 \times 3\).
     Vậy \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện.
   • Nếu \(x = 3\):
     Ta có \(2 x + 5 = 2 \left(\right. 3 \left.\right) + 5 = 11\), và 11 là một số nguyên tố.
     Vậy \(x = 3\) là một giá trị thỏa mãn điều kiện \(x\) và \(2 x + 5\) là số nguyên tố.
4. Tính \(2 x + 7\) khi \(x = 3\):
   Khi \(x = 3\), ta có:
   \(2 x + 7 = 2 \left(\right. 3 \left.\right) + 7 = 6 + 7 = 13\)
   13 là một số nguyên tố.
   Tuy nhiên, chỉ thử một giá trị của \(x\) thôi chưa đủ để khẳng định đúng hoàn toàn. Chúng ta sẽ giải bài toán bằng cách giả sử giá trị \(x\).

Tham khảo

Giải thích:

1. Gọi số viên kẹo ban đầu trong gói là \(x\).
2. Sau khi Hân ăn một số viên kẹo, giả sử Hân đã ăn \(a\) viên kẹo. Theo bài toán, số kẹo còn lại trong gói lúc này là \(x - a\).
   Theo điều kiện đầu tiên, số kẹo Hân đã ăn bằng \(\frac{3}{5}\) số kẹo còn lại, tức là:
   \(a = \frac{3}{5} \left(\right. x - a \left.\right)\)
   Ta giải phương trình này để tìm \(a\):
   \(a = \frac{3}{5} \left(\right. x - a \left.\right)\)
   Nhân cả hai vế với 5:
   \(5 a = 3 \left(\right. x - a \left.\right)\)
   Mở ngoặc:
   \(5 a = 3 x - 3 a\)
   Chuyển tất cả các hạng tử chứa \(a\) về một vế:
   \(5 a + 3 a = 3 x\)\(8 a = 3 x\)\(a = \frac{3}{8} x\)
3. Sau đó, Hân ăn thêm 50 viên kẹo nữa. Khi đó, số kẹo cô đã ăn là \(a + 50\), và số kẹo còn lại trong gói là \(x - a - 50\).
   Theo điều kiện thứ hai, số kẹo Hân đã ăn là \(\frac{7}{5}\) số kẹo còn lại, tức là:
   \(a + 50 = \frac{7}{5} \left(\right. x - a - 50 \left.\right)\)
   Thay \(a = \frac{3}{8} x\) vào phương trình trên:
   \(\frac{3}{8} x + 50 = \frac{7}{5} \left(\right. x - \frac{3}{8} x - 50 \left.\right)\)
4. Tiến hành giải phương trình này:
   Đầu tiên, ta tính \(x - \frac{3}{8} x\):
   \(x - \frac{3}{8} x = \frac{5}{8} x\)
   Do đó, phương trình trở thành:
   \(\frac{3}{8} x + 50 = \frac{7}{5} \left(\right. \frac{5}{8} x - 50 \left.\right)\)
5. Nhân cả hai vế với 40 để loại bỏ mẫu:
   \(40 \times \left(\right. \frac{3}{8} x + 50 \left.\right) = 40 \times \frac{7}{5} \left(\right. \frac{5}{8} x - 50 \left.\right)\)
   Simplify the left side:
   \(15 x + 2000 = 56 \left(\right. \frac{5}{8} x - 50 \left.\right)\)
   Simplify the right side:
   \(15 x + 2000 = 35 x - 2800\)
6. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
   \(15 x - 35 x = - 2800 - 2000\)\(- 20 x = - 4800\)\(x = 240\)

Kết luận:

Số viên kẹo ban đầu trong gói mà Hân mua là 240 viên.

Tham khảo

Đề bài:

Cho đường tròn \(\left(\right. O , R \left.\right)\) với đường kính \(A B\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(O A\), \(O B\). Qua \(M\), \(N\) lần lượt kẻ các dây \(C D\), \(E F\) song song với nhau (với \(C\), \(E\) cùng thuộc nửa đường tròn đường kính \(A B\)). Gọi \(K\), \(L\) lần lượt là trung điểm của \(C D\), \(E F\).

Chứng minh các câu sau:

a) \(O\), \(K\), \(L\) thẳng hàng.

b) \(C D F E\) là hình chữ nhật.

c) Giả sử các dây \(C D\) và \(E F\) cùng tạo với \(A B\) một góc 30 độ. Tính diện tích hình chữ nhật \(C D F E\) theo \(R\).

Giải phần (a): Chứng minh \(O\), \(K\), \(L\) thẳng hàng

Cách tiếp cận:

1. Trung điểm và tính chất đối xứng:
2. • Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(O A\) và \(O B\), ta có:
     \(\overset{\rightarrow}{O M} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{O A} , \overset{\rightarrow}{O N} = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{O B}\)
   • Các dây \(C D\) và \(E F\) lần lượt kẻ qua \(M\) và \(N\) song song, nghĩa là các vectơ chỉ phương của chúng sẽ song song.
3. Định lý trung điểm:
4. • Do \(M\) là trung điểm của \(O A\), và \(N\) là trung điểm của \(O B\), nên các dây \(C D\) và \(E F\) được kẻ song song qua \(M\) và \(N\), do đó các đoạn thẳng này có tính chất đối xứng qua đường nối \(O\) với trung điểm của đoạn \(A B\), tức là \(O\).
5. Chứng minh \(O\), \(K\), \(L\) thẳng hàng:
6. • Vì \(K\) và \(L\) là trung điểm của các đoạn \(C D\) và \(E F\) tương ứng, và do tính chất đối xứng của hình vẽ, các điểm \(O\), \(K\), \(L\) sẽ nằm trên một đường thẳng trung trực của đoạn \(A B\).

Kết luận phần (a): Do đó, \(O\), \(K\), \(L\) thẳng hàng.

Giải phần (b): Chứng minh \(C D F E\) là hình chữ nhật

Cách tiếp cận:

1. Đặc điểm các dây song song:
2. • Dây \(C D\) và \(E F\) là hai dây song song với nhau và cùng nằm trong nửa đường tròn có đường kính \(A B\), tức là \(C\) và \(E\) đều thuộc nửa đường tròn chứa \(A B\).
3. Góc vuông tại các điểm \(C\) và \(E\):
4. • Vì \(C\) và \(E\) nằm trên nửa đường tròn đường kính \(A B\), ta có \(\angle A C B = 90^{\circ}\) và \(\angle A E B = 90^{\circ}\) (theo định lý góc vuông khi có điểm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền).
5. Chứng minh hình chữ nhật:
6. • Các dây \(C D\) và \(E F\) song song và vuông góc với các dây \(A C\) và \(A E\) (do góc vuông tại các điểm \(C\) và \(E\)).
   • Các góc tại \(C\), \(D\), \(E\), và \(F\) là góc vuông, và hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(C D F E\) là song song và bằng nhau.

Kết luận phần (b): Do đó, tứ giác \(C D F E\) là hình chữ nhật.

Giải phần (c): Tính diện tích hình chữ nhật \(C D F E\) theo \(R\), khi góc giữa các dây \(C D\) và \(A B\) là 30 độ

Cách tiếp cận:

1. Khi góc giữa các dây \(C D\) và \(A B\) là 30 độ:
2. • Các dây \(C D\) và \(E F\) cùng tạo với đường kính \(A B\) một góc 30 độ. Vì \(C D \parallel E F\), hai dây này đều tạo với \(A B\) một góc 30 độ.
   • Ta biết rằng chiều dài của mỗi dây trong hình chữ nhật \(C D F E\) là khoảng cách giữa hai điểm trên đường tròn, và các góc tạo bởi chúng và đường kính \(A B\) ảnh hưởng đến chiều dài các cạnh.
3. Tính chiều dài các cạnh của hình chữ nhật:
4. • Vì góc giữa dây \(C D\) (hay \(E F\)) và đường kính \(A B\) là 30 độ, các cạnh của hình chữ nhật có thể tính bằng công thức liên quan đến bán kính \(R\) và góc.
   • Đặc biệt, với góc 30 độ, ta có thể sử dụng công thức:
     \(\text{Chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ch}ữ\&\text{nbsp};\text{nh}ậ\text{t} = 2 R sin ⁡ \left(\right. 30^{\circ} \left.\right) = 2 R \times \frac{1}{2} = R\)
   • Vậy chiều dài mỗi cạnh của hình chữ nhật là \(R\).
5. Tính diện tích hình chữ nhật:
6. • Diện tích hình chữ nhật \(C D F E\) bằng tích chiều dài và chiều rộng.
   • Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đều bằng \(R\), do đó diện tích là:
     \(\text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch} = R \times R = R^{2}\)

Kết luận phần (c): Diện tích hình chữ nhật \(C D F E\) là \(R^{2}\).

Tổng kết:

• (a) \(O\), \(K\), \(L\) thẳng hàng.
• (b) \(C D F E\) là hình chữ nhật.
• (c) Diện tích hình chữ nhật \(C D F E\) là \(R^{2}\).

Giải phần (a): Chứng minh A, C, D, H đồng viên

1. Cách tiếp cận: Ta sẽ sử dụng định lý đường kính của đường tròn, định lý tứ giác nội tiếp và một số tính chất hình học.
2. Bước 1: Tính chất đường tròn
3. • Cho đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có đường kính \(A B\), với điểm \(C\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Do \(A B\) là đường kính, ta có \(\angle A C B = 90^{\circ}\) (theo định lý góc vuông tại điểm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền).
4. Bước 2: Định lý tứ giác nội tiếp
5. • Vì \(D\) là giao điểm của \(O C\) và đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), ta có \(D\) nằm trên đường tròn. Như vậy, tứ giác \(A C D H\) có các điểm \(A\), \(C\), \(D\), và \(H\) nằm trên một đường tròn.
   • Cụ thể, ta có tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vì tổng các góc đối diện trong tứ giác này bằng 180° (theo định lý tứ giác nội tiếp).

Kết luận (a): Tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp nên các điểm \(A , C , D , H\) đồng viên.

Giải phần (b): Chứng minh \(H D \parallel A C\)

1. Cách tiếp cận: Ta sử dụng định lý góc vuông và các tính chất của các đoạn thẳng vuông góc.
2. Bước 1: Tính chất của các đoạn vuông góc
3. • \(C H \bot A B\) tại \(H\), tức là \(C H\) vuông góc với \(A B\), nên ta có \(\angle C H B = 90^{\circ}\).
4. Bước 2: Chứng minh góc tương ứng
5. • Xét tam giác \(A C B\) với \(\angle A C B = 90^{\circ}\), do đó \(A C\) là một cạnh góc vuông của tam giác vuông \(A C B\).
   • Xét các góc tại điểm \(D\) trên đường tròn: ta có \(\angle C D A = \angle C B A\) (góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn). Vì vậy, \(\angle C D A = \angle C B A\).
6. Bước 3: So sánh các góc vuông
7. • Ta có \(\angle C H B = 90^{\circ}\) (do \(C H \bot A B\)), và \(\angle C D A = \angle C B A\).
   • Từ đó suy ra, \(\angle H D C = \angle A C B\), và góc này là một góc vuông.
8. Bước 4: Kết luận
9. • Vì \(\angle H D C = \angle A C B\) và \(\angle C H B = 90^{\circ}\), ta có thể suy ra rằng \(H D \parallel A C\)(theo định lý về góc đồng vị trong các đường thẳng song song).

Kết luận (b): \(H D \parallel A C\).

Tổng kết:

• (a) A, C, D, H đồng viên vì tứ giác \(A C D H\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
• (b) \(H D \parallel A C\) do các góc vuông và tính chất của các góc đồng vị trong các đường thẳng song song.

Tham khảo