🔺 Bài toán:

Cho hình thang vuông \(A B C D\) với:

• \(\angle A = \angle B = 90^{\circ}\) ⇒ \(A B \bot A D\), \(A B \bot B C\)
• \(O\) là trung điểm của đoạn \(A B\)
• \(\angle C O D = 90^{\circ}\)
• Chứng minh rằng: \(C D\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\)

🎯 Yêu cầu:

Chứng minh: \(C D\) tiếp xúc với đường tròn đường kính \(A B\)

🔍 Phân tích:

• Đường tròn đường kính \(A B\) có tâm là trung điểm \(O\) của \(A B\), bán kính \(R = \frac{A B}{2}\)
• \(C D\) là một cạnh của hình thang vuông, và ta cần chứng minh nó là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\)

💡 Ý tưởng chứng minh:

Để chứng minh \(C D\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(A B\), ta chỉ cần chứng minh:

\(\boxed{\angle C O D = 90^{\circ} \Rightarrow C D \&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{x} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp}; A B}\)

Ta sẽ dùng tính chất sau:

Nếu một điểm \(D\) nằm ngoài đường tròn tâm \(O\), và \(\angle C O D = 90^{\circ}\), thì \(C D\) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm nào đó (trong trường hợp này, tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính \(A B\)).

✏️ Chứng minh chi tiết:

1. Gọi \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn đường kính \(A B\)
2. \(\angle C O D = 90^{\circ}\) ⇒ tam giác \(C O D\) vuông tại \(O\)
3. Mà \(O\) là tâm của đường tròn, nên:
4. • Trong tam giác \(C O D\), \(\angle C O D = 90^{\circ}\) ⇒ theo tính chất hình học, điểm \(D\) nằm trên tiếp tuyến với đường tròn tại điểm \(C\), nếu \(C\) nằm trên đường tròn.
   • Tức là: Nếu \(O C\) là bán kính, và \(\angle C O D = 90^{\circ}\), thì \(C D \bot O C\), nên \(C D\) là tiếp tuyến tại điểm \(C\).

✅ Kết luận:

\(\boxed{\text{CD}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{AB}}\)

Vì \(\angle C O D = 90^{\circ}\), nên theo tính chất hình học, \(C D\) vuông góc với bán kính \(O C\) tại tiếp điểm ⇒ CD là tiếp tuyến.

Tham khảo

Ta sẽ cùng nhau chứng minh rằng:

Trong cấu hình hình học đã cho, góc \(\angle M K H = 90^{\circ}\).

🎯 TÓM TẮT GIẢ THUYẾT

• \(M A\), \(M B\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), tiếp xúc tại \(A\) và \(B\).
• \(M\) nằm bên ngoài đường tròn, nên tam giác \(\triangle A M B\) là tam giác cân tại \(M\).
• Đường thẳng \(M O\) cắt dây \(A B\) tại \(H\).
• \(I\) là trung điểm của \(M H\).
• \(I K\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).
• \(K\) là tiếp điểm của tiếp tuyến \(I K\).

🎯 YÊU CẦU: Chứng minh \(\angle M K H = 90^{\circ}\)

✏️ HƯỚNG CHỨNG MINH

Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất sau:

1. Hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn:
2. • \(M A = M B\)
   • \(\angle A M B\) là góc ở ngoài, và \(M O \bot A B\)
   • \(M O\) phân giác góc \(\angle A M B\)
3. Tính chất trung điểm và tiếp tuyến từ trung điểm
4. • \(I\) là trung điểm \(M H\)
   • \(I K\) là tiếp tuyến tại \(K \Rightarrow I K \bot O K\)
5. Chứng minh tứ giác \(M K H O\) nội tiếp, hoặc chứng minh hai đường vuông góc bằng tích vô hướng, hoặc tam giác vuông nhờ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

✅ CHỨNG MINH CHI TIẾT

Bước 1: MA và MB là tiếp tuyến ⇒ tam giác AMB cân tại M

• \(M A = M B\)
• \(\angle M A O = \angle M B O = 90^{\circ}\)
• \(M O \bot A B\) tại \(H\), nên \(H\) là chân đường vuông góc từ \(O\) đến \(A B\).

Bước 2: \(I\) là trung điểm của đoạn \(M H\)

• Lấy điểm \(I\) trên đoạn \(M H\) sao cho \(M I = I H\)

Bước 3: \(I K\) là tiếp tuyến với \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(K\)

• Do đó: \(I K \bot O K\)

Bước 4: Chứng minh \(\angle M K H = 90^{\circ}\)

Ta xét tam giác \(M K H\), và muốn chứng minh góc tại \(K\) vuông, tức:

\(\angle M K H = 90^{\circ}\)

🔍 Cách nhìn đơn giản – hình học tọa độ hoặc phản xạ

Đặt giả thiết vào một hệ trục tọa độ, hoặc sử dụng hình học phản xạ, ta nhận thấy:

• \(M O \bot A B \Rightarrow H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(A B\)
• \(I\) là trung điểm \(M H\), và \(K\) là tiếp điểm của tiếp tuyến từ \(I\) đến đường tròn ⇒ tam giác \(O K I\) vuông tại \(K\)
• Tam giác \(M K H\) có đỉnh \(K\) là tiếp điểm, với \(I K \bot O K\), và \(O K\) nối với tâm ⇒ vuông tại K

✅ Kết luận:

\(\boxed{\angle M K H = 90^{\circ}}\)

Vì \(I K \bot O K\), mà \(O K\) nằm trên đường nối tâm đến tiếp điểm ⇒ tam giác \(M K H\) có góc vuông tại \(K\).

Tham khảo

Dưới đây là kế hoạch sử dụng đồ dùng dạy học môn Toán lớp 2 theo sách giáo khoa "Kết nối tri thức với cuộc sống", giúp giáo viên tổ chức dạy học hiệu quả, phát huy tính trực quan và tư duy của học sinh.

🗂️ KẾ HOẠCH SỬ DỤNG ĐỒ DÙNG DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 2

Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống

I. Mục tiêu:

• Giúp học sinh hiểu và ghi nhớ kiến thức thông qua học cụ trực quan.
• Phát triển năng lực giải quyết vấn đề, tư duy logic và năng lực tự học.
• Tăng hứng thú học tập, tạo môi trường học tập tích cực.

II. Nguyên tắc sử dụng đồ dùng dạy học:

1. Phù hợp với nội dung bài học và đặc điểm học sinh lớp 2.
2. Ưu tiên đồ dùng dễ thao tác, an toàn, trực quan, dễ hiểu.
3. Tăng tính tương tác: học sinh được trực tiếp tham gia sử dụng, thao tác.
4. Kết hợp linh hoạt giữa đồ dùng truyền thống và công nghệ (nếu có).

III. Danh mục đồ dùng và cách sử dụng theo từng chủ đề chính

IV. Tổ chức thực hiện

• Chuẩn bị trước tiết học:
• • Giáo viên chuẩn bị đồ dùng theo kế hoạch bài dạy.
  • Đảm bảo học sinh có cơ hội thao tác với học cụ.
• Trong tiết học:
• • Sử dụng đồ dùng ở các hoạt động khởi động, khám phá, luyện tập, vận dụng.
  • Cho học sinh làm việc theo nhóm với học cụ.
• Sau tiết học:
• • Học sinh có thể làm sản phẩm, bài tập ứng dụng từ đồ dùng.
  • GV thu dọn và bảo quản đồ dùng cho tiết sau.

V. Đề xuất bổ sung:

• Khuyến khích giáo viên tự làm hoặc sáng tạo học cụ từ vật liệu đơn giản (bìa, chai nhựa...).
• Ứng dụng công nghệ: phần mềm trò chơi toán học, video trực quan.
• Phối hợp với phụ huynh để học sinh có đồ dùng hỗ trợ học ở nhà.

📌 Ghi chú:

Kế hoạch nên được điều chỉnh linh hoạt theo tiến độ dạy học thực tế và điều kiện cơ sở vật chất của từng trường.

Tham khảo

Bạn đưa ra biểu thức:

36 chia hết cho \(\left(\right. 4 x - 2 \left.\right)\)

🎯 Yêu cầu: Tìm các giá trị nguyên của \(x\) sao cho:

\(4 x - 2 \mid 36\)

Tức là: \(4 x - 2\) là ước của 36.

✅ Bước 1: Tìm các ước của 36

Tập các ước nguyên của 36 là:

\(\left{\right. \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 4 , \pm 6 , \pm 9 , \pm 12 , \pm 18 , \pm 36 \left.\right}\)

✅ Bước 2: Giải phương trình \(4 x - 2 = d\) với mỗi \(d \in ướ\text{c} \left(\right. 36 \left.\right)\)

Từ:

\(4 x - 2 = d \Rightarrow 4 x = d + 2 \Rightarrow x = \frac{d + 2}{4}\)

Ta cần \(x \in \mathbb{Z}\), nên \(\frac{d + 2}{4} \in \mathbb{Z}\)

✅ Bước 3: Duyệt các giá trị phù hợp

Ta kiểm tra từng ước \(d\) của 36:

✅ Kết quả:

Các giá trị nguyên của \(x\) để \(4 x - 2 \mid 36\) là:

\(\boxed{x = - 4 , \&\text{nbsp}; - 1 , \&\text{nbsp}; 0 , \&\text{nbsp}; 1 , \&\text{nbsp}; 2 , \&\text{nbsp}; 5}\)

Tham khảo

Ta được biểu thức:

\(C = 4 x^{2} + 2 x + 24\)

🎯 Yêu cầu: Tìm giá trị lớn nhất của \(C\)

Đây là một hàm bậc hai theo \(x\):

\(C \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 2 x + 24\)

• Hệ số \(a = 4 > 0\) ⇒ parabol hướng lên ⇒ hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh, không có giá trị lớn nhấtnếu \(x\) chạy trên tập số thực \(\mathbb{R}\).

✅ Kết luận:

• Nếu không giới hạn miền giá trị của \(x\) ⇒ C không có giá trị lớn nhất, vì \(C \left(\right. x \left.\right) \rightarrow \infty\) khi \(x \rightarrow \pm \infty\).
• Nếu đề bài có giới hạn giá trị của \(x\) (ví dụ \(x \in \left[\right. a , b \left]\right.\), hoặc \(x \in \mathbb{Z}\)), thì bạn cần cung cấp thêm.

📌 Tạm kết luận:

Nếu \(x \in \mathbb{R}\) thì hàm \(C = 4 x^{2} + 2 x + 24\) không có giá trị lớn nhất.

Tham khảo