Cho hệ phương trình:

\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 \left(\right. b + 2 c \left.\right) \\ c^{3} = 3 \left(\right. c + 2 a \left.\right)\)

Mục tiêu:

Tìm tất cả các số thực \(\left(\right. a , b , c \left.\right)\) thỏa mãn hệ trên.

Bước 1: Nhận xét về tính đối xứng

Hệ phương trình có dạng đối xứng cyclic (tuần hoàn) giữa \(a , b , c\).

Bước 2: Thử nghiệm trường hợp đặc biệt

Trường hợp 1: \(a = b = c = t\)

Thay vào:

\(t^{3} = 3 \left(\right. t + 2 t \left.\right) = 9 t\)\(t^{3} = 9 t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t^{3} - 9 t = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t \left(\right. t^{2} - 9 \left.\right) = 0\)

Nên:

\(t = 0 \text{ho}ặ\text{c} t = \pm 3\)

Kết quả trường hợp 1:

\(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 3 , 3 , 3 \left.\right) , \left(\right. - 3 , - 3 , - 3 \left.\right)\)

Bước 3: Tìm nghiệm khác (nếu có)

Giả sử không phải tất cả bằng nhau.

Đặt:

\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)

Theo hệ:

\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)

Bước 4: Biểu diễn theo \(X , Y , Z\)

Nhớ rằng:

\(X = a + 2 b , Y = b + 2 c , Z = c + 2 a\)

Ta có hệ tuyến tính:

\(\left{\right. X = a + 2 b \\ Y = b + 2 c \\ Z = c + 2 a\)

Viết dưới dạng ma trận:

\(\left(\right. 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \left.\right) \left(\right. a \\ b \\ c \left.\right) = \left(\right. X \\ Y \\ Z \left.\right)\)

Bước 5: Từ hệ này, nếu ma trận khả nghịch, có thể biểu diễn \(a , b , c\) theo \(X , Y , Z\), nhưng đồng thời:

\(a^{3} = 3 X , b^{3} = 3 Y , c^{3} = 3 Z\)

Điều này khá phức tạp, ta chuyển sang bước khác.

Bước 6: Cộng cả 3 phương trình

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 \left(\right. a + b + c + 2 b + 2 c + 2 a \left.\right) = 3 \left(\right. 3 \left(\right. a + b + c \left.\right) \left.\right) = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)

Như vậy:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 \left(\right. a + b + c \left.\right)\)

Bước 7: Đặt \(S = a + b + c\)

Công thức trên trở thành:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\)

Bước 8: Biến đổi thêm

Sử dụng công thức tổng lập phương:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right)\)

Nếu \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S\), thì:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 9 S - 3 a b c\)

Nhưng nếu \(a , b , c\) bằng nhau, ta có nghiệm đã tìm. Nếu không, có thể \(S = 0\).

Bước 9: Thử nghiệm \(S = 0\)

Nếu \(a + b + c = 0\), thì:

\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c\)

Theo bước 7, \(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 9 S = 0\), nên:

\(3 a b c = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a b c = 0\)

Bước 10: Kết luận trường hợp \(S = 0\)

Nếu tổng bằng 0, tích bằng 0 ⇒ ít nhất một trong ba số là 0.

Giả sử \(c = 0\), hệ trở thành:

\(\left{\right. a^{3} = 3 \left(\right. a + 2 b \left.\right) \\ b^{3} = 3 b \\ 0 = 3 \left(\right. 0 + 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 0 = 6 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = 0\)

Từ đó:

\(a = 0\)

Phương trình thứ hai:

\(b^{3} = 3 b \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b^{3} - 3 b = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \left(\right. b^{2} - 3 \left.\right) = 0\)

Nên:

\(b = 0 , b = \sqrt{3} , b = - \sqrt{3}\)

Vậy nghiệm:

\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right)\)

Bước 11: Tương tự nếu \(a = 0\) hoặc \(b = 0\), sẽ có các nghiệm tương tự.

Tổng hợp nghiệm:

• \(\left(\right. a , b , c \left.\right) = \left(\right. t , t , t \left.\right)\) với \(t = 0 , 3 , - 3\)
• Các nghiệm có một số bằng 0 và các số còn lại thỏa mãn phương trình riêng biệt, ví dụ:

\(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , - \sqrt{3} , 0 \left.\right) , \ldots\)

Lô

Hi

Tham khảo

Bài 1:

Cho:

\(Q = 23 ! - 21 !\)

a) Q có chia hết cho 4 không?

Bước 1: Viết lại \(Q\)

\(Q = 23 ! - 21 ! = 21 ! \times \left(\right. 22 \times 23 - 1 \left.\right) = 21 ! \times \left(\right. 506 - 1 \left.\right) = 21 ! \times 505\)

Bước 2: Kiểm tra chia hết cho 4

• \(21 !\) chia hết cho \(4\) không?

\(21 !\) chứa tích từ 1 đến 21, chắc chắn có rất nhiều số chẵn, trong đó có ít nhất 2 số 2, tức \(2^{2}\) có trong \(21 !\), nên:

\(21 ! \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 4\)

• \(505\) chia hết cho 4?

\(505 \div 4 = 126.25\) không chia hết.

Bước 3: Kết luận

\(Q = 21 ! \times 505\)

Do \(21 !\) chia hết cho 4, và \(505\) không chia hết cho 4, nên \(Q\) chia hết cho 4.

Đáp án a): Có, \(Q\) chia hết cho 4.

b) Q có chia hết cho 155 không?

Bước 1: Phân tích 155

\(155 = 5 \times 31\)

Bước 2: Xem \(Q = 21 ! \times 505\)

• \(505 = 5 \times 101\), không chia hết cho 31
• \(21 !\) có chia hết cho 5 không? Có (có nhiều số chia hết cho 5 trong 1 đến 21)
• \(21 !\) có chia hết cho 31 không?

31 > 21 nên không có số nào trong 21! chia hết cho 31, do đó \(21 !\) không chia hết cho 31.

Bước 3: Kết luận

• \(Q\) chia hết cho 5 (vì có \(21 !\) và \(505\) cùng chia hết cho 5)
• Nhưng không chia hết cho 31

⇒ \(Q\) không chia hết cho 155.

Kết luận cuối cùng:

• a) Có, \(Q\) chia hết cho 4
• b) Không, \(Q\) không chia hết cho 155

Tham khảo

Bạn hỏi:

Tìm tất cả các bộ số thực (có 20 số) sao cho mỗi số trong bộ bằng tổng bình phương của 19 số còn lại.

Giải thích nhanh:

Giả sử bộ số là:

\(x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{20}\)

Với điều kiện:

\(x_{i} = \sum_{j = 1 \\ j \neq i}^{20} x_{j}^{2} , \forall i = 1 , 2 , \ldots , 20\)

Bước 1: Viết lại điều kiện

\(x_{i} = S - x_{i}^{2} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; S = \sum_{j = 1}^{20} x_{j}^{2}\)

Từ đó ta có:

\(x_{i} + x_{i}^{2} = S \Rightarrow x_{i}^{2} + x_{i} - S = 0 , \forall i\)

Bước 2: Phân tích

Mọi \(x_{i}\) đều là nghiệm của phương trình:

\(t^{2} + t - S = 0\)

Phương trình có nghiệm:

\(t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 S}}{2}\)

Bước 3: Giả sử trong 20 số có \(k\) số bằng nghiệm thứ nhất, còn lại \(20 - k\) số bằng nghiệm thứ hai.

Gọi hai nghiệm là:

\(a = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 S}}{2} , b = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 S}}{2}\)

Số \(x_{i}\) chỉ nhận giá trị \(a\) hoặc \(b\).

Bước 4: Viết tổng bình phương \(S\)

\(S = k a^{2} + \left(\right. 20 - k \left.\right) b^{2}\)

Bước 5: Áp dụng điều kiện

Như đã nói ở Bước 1:

\(S = a^{2} k + b^{2} \left(\right. 20 - k \left.\right)\)

Mà \(a\) và \(b\) thỏa:

\(a^{2} + a - S = 0 , b^{2} + b - S = 0\)

Bước 6: Hệ phương trình

Ta có hai ẩn là \(S\) và \(k\) (số lượng các phần tử bằng \(a\)):

\(\left{\right. S = k a^{2} + \left(\right. 20 - k \left.\right) b^{2} \\ a = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 S}}{2} \\ b = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 S}}{2}\)

Bước 7: Thay \(a^{2} = S - a\), \(b^{2} = S - b\) (từ phương trình ở bước 1)

\(S = k \left(\right. S - a \left.\right) + \left(\right. 20 - k \left.\right) \left(\right. S - b \left.\right) = 20 S - k a - \left(\right. 20 - k \left.\right) b\)\(S = 20 S - k a - 20 b + k b\)\(S - 20 S = - k a - 20 b + k b\)\(- 19 S = k \left(\right. b - a \left.\right) - 20 b\)

Bước 8: Giải ra \(k\):

\(k \left(\right. b - a \left.\right) = - 19 S + 20 b\)\(k = \frac{20 b - 19 S}{b - a}\)

Bước 9: Lưu ý \(k\) phải là số nguyên từ 0 đến 20, \(S \geq 0\), và \(a , b\) theo \(S\).

Tóm lại:

• Bộ số gồm 20 phần tử, mỗi phần tử bằng \(a\) hoặc \(b\), nghiệm phương trình \(t^{2} + t - S = 0\).
• Số lượng \(k\) phần tử bằng \(a\) thỏa công thức ở trên.
• Dựa vào điều kiện này, có thể tìm các giá trị \(S\) sao cho \(k \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 20 \left.\right}\) nguyên.

Kết luận:

• Có nhiều bộ số thỏa mãn, được xác định bởi \(S\) và \(k\) thỏa điều kiện.
• Ví dụ đơn giản:
• • Nếu tất cả bằng số \(a\), tức \(k = 20\), thì:
    \(S = 20 a^{2}\)
    và a^2 + a - S = 0 \Rightarrow a^2 + a - 20 a^2 = 0 \Rightarrow -19 a^2 + a = 0 \Rightarrow a(1 - 19 a) = 0 \] ⇒ \( a=0 hoặc \(a = \frac{1}{19}\)
    Nếu \(a = 0\), thì tất cả số bằng 0 ⇒ thoả mãn.
    Nếu \(a = \frac{1}{19}\), ta kiểm tra lại điều kiện.

Tham khảo

Ta cần tìm \(n \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên) sao cho:

\(2 n + 1 \mid 3 n + 5\)

✅ Giải thích bài toán

Tức là:

\(\frac{3 n + 5}{2 n + 1} \in \mathbb{Z}\)

Nói cách khác, 3n + 5 chia hết cho 2n + 1.

✏️ Cách làm:

Ta sẽ thử chia biểu thức \(\frac{3 n + 5}{2 n + 1}\) bằng phép chia đa thức.

🔄 Phép chia:

Ta chia \(3 n + 5\) cho \(2 n + 1\) theo phép chia đa thức bậc nhất:

\(\frac{3 n + 5}{2 n + 1}\)

Ta thử đặt:

\(\frac{3 n + 5}{2 n + 1} = a + \frac{r}{2 n + 1}\)

Thử một số giá trị nhỏ của \(n \in \mathbb{N}\) để kiểm tra:

🔍 Thử các giá trị nhỏ:

✅ Kết luận:

Các giá trị \(n \in \mathbb{N}\) sao cho \(2 n + 1 \mid 3 n + 5\) là:

\(\boxed{n = 0 \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; n = 3}\)

Tham khảo