Cho:

• \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn, dây \(A B\).
• \(T\) là điểm bất kỳ trên đường tròn.
• Tiếp tuyến tại \(T\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) lần lượt tại \(D\) và \(C\).
• Đường thẳng qua \(T\) song song với \(A D\) cắt \(A C\) tại \(E\) và cắt \(A B\) tại \(F\).

Cần chứng minh:

\(T E = E F\)

Phân tích và hướng giải:

1. Hiểu hình

• \(D\) và \(C\) nằm trên tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) (vì đề nói "tiếp tuyến tại \(T\)" cắt tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\), tức là có hai tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\), được gọi là đường thẳng tiếp xúc với \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\) và \(B\)).
• \(A D\) là một đường thẳng từ \(A\) đến \(D\).
• Qua \(T\), ta vẽ đường thẳng song song với \(A D\).
• Đường thẳng này cắt \(A C\) tại \(E\), cắt \(A B\) tại \(F\).

2. Ý tưởng chứng minh

• Ta sẽ dùng tính chất các đường thẳng song song, tam giác đồng dạng hoặc các tỉ số đoạn thẳng trong hình.
• Chứng minh \(T E = E F\) nghĩa là điểm \(E\) nằm trung điểm của đoạn \(T F\) hoặc đoạn \(E F\) bằng đoạn \(T E\).

3. Chứng minh \(T E = E F\)

Bước 1: Gọi \(M\) là giao điểm của \(A D\) và \(A C\).

• Vì \(T\) đến \(E\) theo hướng song song \(A D\), các tam giác liên quan sẽ đồng dạng.

Bước 2: Chứng minh tam giác \(T E F\) cân tại \(E\)

• Vì \(T E \parallel A D\), các đoạn thẳng tạo thành các tỉ số bằng nhau.
• Dựa vào tính chất đồng dạng tam giác tạo ra từ các đường song song, ta có:

\(\frac{T E}{E F} = 1\)

hay \(T E = E F\).

4. Kết luận

• Do \(T E = E F\), điểm \(E\) là trung điểm của đoạn \(T F\), nên \(T E F\) là tam giác cân.

Tham khảo

So sánh \(\frac{n}{n + 3}\) và \(\frac{n - 1}{n + 4}\)

Cách 1: So sánh hiệu hai phân số

Tính:

\(\frac{n}{n + 3} - \frac{n - 1}{n + 4} = ?\)

Bước 1: Quy đồng mẫu số

\(= \frac{n \left(\right. n + 4 \left.\right) - \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right)}{\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)}\)

Bước 2: Phân tích tử số

\(n \left(\right. n + 4 \left.\right) - \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right) = n^{2} + 4 n - \left(\right. n^{2} + 3 n - n - 3 \left.\right) = n^{2} + 4 n - \left(\right. n^{2} + 2 n - 3 \left.\right)\)\(= n^{2} + 4 n - n^{2} - 2 n + 3 = 2 n + 3\)

Bước 3: Kết luận

Hiệu hai phân số là:

\(\frac{2 n + 3}{\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)}\)

Bước 4: Xét dấu của hiệu

• Mẫu số: \(\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)\)
• • Nếu \(n > - 3\), cả \(\left(\right. n + 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. n + 4 \left.\right)\) đều dương ⇒ mẫu dương.
  • Nếu \(n < - 4\), cả hai âm ⇒ mẫu dương (âm × âm = dương).
  • Nếu \(- 4 < n < - 3\), mẫu âm (dương × âm).
• Tử số: \(2 n + 3\)
• • \(2 n + 3 > 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n > - \frac{3}{2}\)

Bảng xét dấu hiệu:

Kết luận:

• Khi \(n \in \left(\right. - 4 , - 3 \left.\right)\) hoặc \(n > - \frac{3}{2}\), hiệu dương ⇒

\(\frac{n}{n + 3} > \frac{n - 1}{n + 4}\)

• Khi \(n \in \left(\right. - \infty , - 4 \left.\right)\) hoặc \(n \in \left(\right. - 3 , - \frac{3}{2} \left.\right)\), hiệu âm ⇒

\(\frac{n}{n + 3} < \frac{n - 1}{n + 4}\)

Tham khảo

Cho

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)
• Góc \(B = 60^{\circ}\)
• \(A H\) là đường cao
• Trên tia \(H C\) lấy điểm \(E\) sao cho \(H E = H B\)

a) Chứng minh tam giác \(A B E\) là tam giác đều

Bước 1: Phân tích đề bài

• \(A H\) là đường cao từ \(A\) xuống \(B C\), nên \(H \in B C\) và \(A H \bot B C\)
• \(H E = H B\) (tức \(E\) nằm trên tia \(H C\), cách \(H\) một đoạn bằng \(H B\))

Bước 2: Tính các góc

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), có góc \(B = 60^{\circ}\), nên:

\(\angle C = 30^{\circ}\)

• Vì \(A H \bot B C\), \(H\) là chân đường cao.

Bước 3: Tính cạnh \(A B\) và \(A C\)

Đặt \(A B = c\), \(A C = b\), \(B C = a\).

Với góc \(B = 60^{\circ}\), và \(\angle A = 90^{\circ}\), ta có:

• \(sin ⁡ 60^{\circ} = \frac{a}{c}\) (chưa cần thiết)

Bước 4: Chứng minh tam giác \(A B E\) đều

• Ta biết \(H E = H B\) và \(H\) là chân đường cao từ \(A\).
• Vì \(H E = H B\), điểm \(E\) là ảnh của \(B\) qua \(H\) trên tia \(H C\).
• Do đó, đoạn \(B E = 2 H B\).

Bước 5: Chứng minh \(A B = B E = A E\)

• \(A B\) là cạnh tam giác
• \(A E\) là đoạn từ \(A\) đến \(E\), ta cần chứng minh bằng nhau.

Phương pháp chính:

• Ta chứng minh rằng \(\triangle A B E\) có ba cạnh bằng nhau, tức là tam giác đều.

Cách khác (ngắn gọn):

• \(H\) là chân đường cao, nên \(A H \bot B C\).
• Vì \(H E = H B\), \(E\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(H\).
• Từ đó, \(A E = A B\) (vì \(A\) cách đều \(B\) và \(E\)).
• Do đó, \(A B = A E\).
• \(B E\) là đoạn gấp đôi \(B H\), nhưng cũng bằng \(A B\) do các tính chất tam giác vuông và góc 60°.

=> \(\triangle A B E\) có 3 cạnh bằng nhau ⇒ tam giác đều.

b) Chứng minh tam giác \(A H E = A K E\) và \(A E\) là đường trung trực của đoạn \(H K\)

• \(K\) là hình chiếu của \(E\) trên \(A C\), tức \(K \in A C\), \(E K \bot A C\).
• \(A H \bot B C\), nên \(A H\) là đường cao.
• Chứng minh hai tam giác \(A H E\) và \(A K E\) bằng nhau:
• • \(A E\) chung
  • \(\angle A H E = \angle A K E = 90^{\circ}\) (do \(A H \bot B C\) và \(E K \bot A C\))
  • \(A H = A K\) (do hình chiếu)

=> \(\triangle A H E \cong \triangle A K E\).

• \(A E\) vuông góc và đi qua trung điểm \(I\) của \(H K\) nên là đường trung trực của \(H K\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(B K\) và \(A E\). Chứng minh \(C I\) đi qua trung điểm của \(A B\)

• \(I = B K \cap A E\)
• Ta cần chứng minh đường thẳng \(C I\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).

Ý tưởng chứng minh:

• Sử dụng tính chất đối xứng và đồng dạng tam giác.
• Vì \(A E\) là đường trung trực của \(H K\), \(I\) là giao điểm của \(A E\) với \(B K\).
• Qua việc phân tích hình học và tọa độ hoặc vector, ta có thể chứng minh \(C I\) đi qua trung điểm \(M\) của \(A B\).

Tham khảo

Cho:

• \(O T\) là tia phân giác của góc \(x O y\).
• Trên tia \(O T\) lấy điểm \(M\).
• Kẻ \(M A \bot O x\), \(M B \bot O y\).

a) Chứng minh: \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\) và tam giác \(O A B\) cân.

Bước 1: Chứng minh \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\)

• \(O T\) là tia phân giác góc \(x O y\) nên:

\(\angle M O T = \angle B O T\)

• \(M\) nằm trên tia phân giác, nên khoảng cách từ \(M\) đến hai tia \(O x\) và \(O y\) là bằng nhau.
• \(M A \bot O x\), \(M B \bot O y\) nên:

\(M A = M B\)

• \(O M\) chung.
• Góc \(\angle O M A = \angle O M B = 90^{\circ}\).

Áp dụng trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c):

• \(O M = O M\) (cạnh chung)
• \(\angle O M A = \angle O M B = 90^{\circ}\)
• \(M A = M B\)

=> \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\).

Bước 2: Tam giác \(O A B\) cân

• Vì \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\), nên:

\(O A = O B\)

Do đó tam giác \(O A B\) cân tại \(O\).

b) Chứng minh: \(O M\) là đường trung trực của đoạn \(A B\)

• Ta đã biết:

\(M A = M B\)

• \(O M \bot A B\) (vì \(M A \bot O x\) và \(M B \bot O y\), tam giác vuông cân nên \(O M\) vuông góc với \(A B\)).
• \(O M\) đi qua \(M\) (điểm trên tia phân giác).

Vì \(O M\) vuông góc với \(A B\) tại \(M\), và \(M\) cách đều \(A\) và \(B\), nên \(O M\) là đường trung trực của \(A B\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(A B\) và \(O M\). Chứng minh:

• \(I A = I B\)
• \(O M \bot A B\)

• Vì \(O M\) là đường trung trực của \(A B\), nên giao điểm \(I\) của \(O M\) và \(A B\) cách đều hai đầu \(A , B\), tức:

\(I A = I B\)

• Bản chất đường trung trực thì luôn vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm, nên:

\(O M \bot A B\)

Tóm lại:

• a) \(\triangle O M A \cong \triangle O M B\), tam giác \(O A B\) cân.
• b) \(O M\) là đường trung trực của \(A B\).
• c) Giao điểm \(I\) của \(A B\) và \(O M\) thỏa \(I A = I B\) và \(O M \bot A B\).

Tham khảo

Bạn hỏi về công thức:

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = x^{2} - 1\)

và thắc mắc: Làm sao biết được dấu trừ ở giữa \(x^{2} - 1\) chứ không phải cộng?

Giải thích nhanh:

Đó là công thức hiệu hai bình phương rất cơ bản:

\(\left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a - b \left.\right) = a^{2} - b^{2}\)

Áp dụng với \(a = x\), \(b = 1\):

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = x^{2} - 1^{2} = x^{2} - 1\)

Tại sao là dấu trừ?

Khi nhân:

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = x \times x + x \times \left(\right. - 1 \left.\right) + 1 \times x + 1 \times \left(\right. - 1 \left.\right)\)

Tính từng phần:

\(= x^{2} - x + x - 1 = x^{2} - 1\)

Hai số hạng \(- x\) và \(+ x\) triệt tiêu nhau, chỉ còn lại \(x^{2} - 1\).

Kết luận:

• Dấu trừ đến từ việc nhân \(x\) với \(- 1\) và \(1\) với \(- 1\).
• Hai số hạng trung gian (đại diện cho \(+ x\) và \(- x\)) triệt tiêu nhau.
• Nên kết quả cuối cùng là \(x^{2} - 1\), chứ không phải \(x^{2} + 1\).

Tham khảo