Tham khảo

Giả thiết:

• \(\left(\right. O \left.\right)\) là nửa đường tròn đường kính \(A B\).
• \(A x\) và \(B y\) là các tiếp tuyến với \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\) và \(B\).
• \(M\) là điểm bất kỳ trên tia \(A x\).
• \(M B\) cắt \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(C\).
• \(N\) là trung điểm của \(A M\).
• \(N C\) kéo dài cắt \(B y\) tại \(D\).
• \(R\) là bán kính đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

a) Chứng minh tam giác \(A C B\) vuông tại \(C\)

Lời giải:

• Vì \(A B\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\), nên theo định lý đường kính, góc \(\hat{A C B} = 90^{\circ}\).

Cụ thể: điểm \(C\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có đường kính \(A B\), nên tam giác \(A C B\) vuông tại \(C\).

b) Chứng minh: \(2 \cdot B C \cdot M C = A C^{2}\)

Phân tích:

• \(M\) nằm trên tia tiếp tuyến \(A x\).
• \(M B\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(C\).
• Ta cần chứng minh tích đoạn thẳng \(B C\) nhân với \(M C\) nhân 2 bằng bình phương đoạn \(A C\).

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, đường kính và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác, hoặc định lý Ptolemy, hoặc các hệ quả của tiếp tuyến và dây cung.

Tham khảo

Giả thiết:

• \(\left(\right. O \left.\right)\) là nửa đường tròn đường kính \(A B\).
• \(A x\) và \(B y\) là các tiếp tuyến với \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\) và \(B\).
• \(M\) là điểm bất kỳ trên tia \(A x\).
• \(M B\) cắt \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(C\).
• \(N\) là trung điểm của \(A M\).
• \(N C\) kéo dài cắt \(B y\) tại \(D\).
• \(R\) là bán kính đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

a) Chứng minh tam giác \(A C B\) vuông tại \(C\)

Lời giải:

• Vì \(A B\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\), nên theo định lý đường kính, góc \(\hat{A C B} = 90^{\circ}\).

Cụ thể: điểm \(C\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có đường kính \(A B\), nên tam giác \(A C B\) vuông tại \(C\).

b) Chứng minh: \(2 \cdot B C \cdot M C = A C^{2}\)

Phân tích:

• \(M\) nằm trên tia tiếp tuyến \(A x\).
• \(M B\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(C\).
• Ta cần chứng minh tích đoạn thẳng \(B C\) nhân với \(M C\) nhân 2 bằng bình phương đoạn \(A C\).

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, đường kính và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác, hoặc định lý Ptolemy, hoặc các hệ quả của tiếp tuyến và dây cung.

Tham khảo

Ví dụ minh họa

So sánh:

\(A = 17 + 5 + \sqrt{45}\)

và

\(B = 17 + \frac{5}{17} + \sqrt{45}\)

Ta tính:

\(A = 17 + 5 + \sqrt{45} = 22 + \sqrt{45}\)\(B = 17 + \frac{5}{17} + \sqrt{45} \approx 17 + 0.2941 + 6.7082 = 24.0023\)

Còn \(\sqrt{45} \approx 6.7082\).

Vậy:

\(A \approx 22 + 6.7082 = 28.7082\)\(B \approx 24.0023\)

So sánh:

\(A > B\)

Tham khảo

Bước 1: Viết lại biểu thức cho dễ nhìn

\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)

Bước 2: Tìm đạo hàm của \(P\)

\(P = \frac{x}{9 - x} + x \left(\right. 9 - x \left.\right)\)

Đạo hàm từng phần:

• Đạo hàm của \(\frac{x}{9 - x}\):

\(u = x , v = 9 - x \Rightarrow u^{'} = 1 , v^{'} = - 1\)\(\left(\left(\right. \frac{u}{v} \left.\right)\right)^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{1 \cdot \left(\right. 9 - x \left.\right) - x \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9 - x + x}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}}\)

• Đạo hàm của \(x \left(\right. 9 - x \left.\right) = 9 x - x^{2}\) là:

\(9 - 2 x\)

Vậy đạo hàm của \(P\) là:

\(P^{'} = \frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x\)

Bước 3: Tìm nghiệm của \(P^{'} = 0\)

\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} + 9 - 2 x = 0\)

Chuyển vế:

\(\frac{9}{\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}} = 2 x - 9\)

Lưu ý: Để vế phải \(2 x - 9\) dương (vì vế trái luôn dương), ta có:

\(2 x - 9 > 0 \Rightarrow x > \frac{9}{2} = 4.5\)

Nhân hai vế với \(\left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\):

\(9 = \left(\right. 2 x - 9 \left.\right) \left(\right. 9 - x \left.\right)^{2}\)

Đặt \(t = 9 - x\), khi \(x > 4.5 \Rightarrow t = 9 - x < 4.5\).

Thay \(x = 9 - t\):

\(9 = \left(\right. 2 \left(\right. 9 - t \left.\right) - 9 \left.\right) \cdot t^{2} = \left(\right. 18 - 2 t - 9 \left.\right) t^{2} = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2}\)

Ta có:

\(9 = \left(\right. 9 - 2 t \left.\right) t^{2} = 9 t^{2} - 2 t^{3}\)

Chuyển hết về một phía:

\(9 t^{2} - 2 t^{3} - 9 = 0\)

Hay:

\(- 2 t^{3} + 9 t^{2} - 9 = 0\)

Nhân cả phương trình với -1 để thuận tiện:

\(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)

Bước 4: Giải phương trình \(2 t^{3} - 9 t^{2} + 9 = 0\)

Thử các nghiệm nguyên hoặc hữu tỉ:

• \(t = 1\):

\(2 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 9 = 2 - 9 + 9 = 2 \neq 0\)

• \(t = 3\):

\(2 \left(\right. 27 \left.\right) - 9 \left(\right. 9 \left.\right) + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18 \neq 0\)

• \(t = 4.5\):

\(2 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{3} - 9 \left(\right. 4.5 \left.\right)^{2} + 9 = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 \neq 0\)

• \(t = 2\):

\(2 \left(\right. 8 \left.\right) - 9 \left(\right. 4 \left.\right) + 9 = 16 - 36 + 9 = - 11 \neq 0\)

Không tìm được nghiệm nguyên, dùng phương pháp đồ thị hoặc nghiệm gần đúng.

Bước 5: Tính giá trị gần đúng nghiệm \(t\)

Ta có hàm:

\(f \left(\right. t \left.\right) = 2 t^{3} - 9 t^{2} + 9\)

• \(f \left(\right. 2 \left.\right) = - 11\) (âm)
• \(f \left(\right. 3 \left.\right) = 2 \cdot 27 - 9 \cdot 9 + 9 = 54 - 81 + 9 = - 18\) (âm, chỉnh lại ở trên bị sai, đúng là -18)
• \(f \left(\right. 4 \left.\right) = 2 \cdot 64 - 9 \cdot 16 + 9 = 128 - 144 + 9 = - 7\) (âm)
• \(f \left(\right. 5 \left.\right) = 2 \cdot 125 - 9 \cdot 25 + 9 = 250 - 225 + 9 = 34\) (dương)

Vậy nghiệm nằm trong khoảng \(\left(\right. 4 , 5 \left.\right)\).

Tiếp tục thử \(t = 4.5\):

\(f \left(\right. 4.5 \left.\right) = 2 \cdot 91.125 - 9 \cdot 20.25 + 9 = 182.25 - 182.25 + 9 = 9 > 0\)

Có vẻ trước đó tính sai, ta kiểm tra lại:

\(t = 4.25 \Rightarrow f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} - 9 \cdot \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} + 9\)\(\left(\right. 4.25 \left.\right)^{3} = 76.765625 , \left(\right. 4.25 \left.\right)^{2} = 18.0625\)\(f \left(\right. 4.25 \left.\right) = 2 \cdot 76.765625 - 9 \cdot 18.0625 + 9 = 153.53125 - + 9 = - 0.03125\)

Gần bằng 0, nghiệm ở gần \(4.25\).

Bước 6: Tính nghiệm x

\(t \approx 4.25 \Rightarrow x = 9 - t = 9 - 4.25 = 4.75\)

Bước 7: Tính giá trị \(P\) tại \(x = 4.75\)

\(P = \frac{4.75}{9 - 4.75} + 4.75 \left(\right. 9 - 4.75 \left.\right) = \frac{4.75}{4.25} + 4.75 \times 4.25\)\(\frac{4.75}{4.25} \approx 1.1176 , 4.75 \times 4.25 = 20.1875\)\(P \approx 1.1176 + 20.1875 = 21.3051\)

Bước 8: Xét giới hạn tại biên \(x \rightarrow 0^{+}\) và \(x \rightarrow 9^{-}\)

• Khi \(x \rightarrow 0^{+}\):

\(P \rightarrow \frac{0}{9} + 0 \times 9 = 0\)

• Khi \(x \rightarrow 9^{-}\):

\(\frac{x}{9 - x} \rightarrow + \infty , x \left(\right. 9 - x \left.\right) \rightarrow 0\)

Nên \(P \rightarrow + \infty\).

Kết luận:

• \(P\) có một điểm cực trị tại \(x \approx 4.75\) với giá trị \(P \approx 21.3\).
• \(P \rightarrow + \infty\) khi \(x \rightarrow 9^{-}\).
• \(P \rightarrow 0\) khi \(x \rightarrow 0^{+}\).

Vì \(P \rightarrow + \infty\) gần biên \(x \rightarrow 9^{-}\), nên không có GTLN hữu hạn trên khoảng \(\left(\right. 0 , 9 \left.\right)\).

Còn GTNN là khoảng \(x \rightarrow 0\) hoặc tại cực trị \(x = 4.75\).

Khum bt

Tham khảo