It annoyed me that Lucy couldn't **bother to** me know she was going to be late.

(You can say: "It annoyed me that Lucy couldn't bother to let me know she was going to be late.")

Tham khảo

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ (vậy $AB = AC$ và góc $A = 90^\circ$).

Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $M$ sao cho $CM = CB$.

Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AN = AC$.

Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $P$ sao cho $BP = BA$.

---

## Mục tiêu chứng minh:

1. $AM \perp NP$

2. $AM = NP$

---

## Phân tích và chứng minh:

### Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ

Để dễ chứng minh, ta dựng hệ tọa độ phẳng $Oxy$:

* Gốc tọa độ tại $A$.

* Vì tam giác vuông cân tại $A$, giả sử:

$AB$ trên trục $Ox$ với $AB = AC = a$

$AC$ trên trục $Oy$ với $AC = a$

Vậy tọa độ các điểm:

$$

A = (0,0), \quad B = (a,0), \quad C = (0,a)

$$

---

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm $M, N, P$

* $M$ trên tia đối của $CB$:

Tia $CB$ có điểm $C(0,a)$, $B(a,0)$. Vector $\overrightarrow{CB} = (a - 0, 0 - a) = (a, -a)$.

Tia đối của $CB$ tại $C$ là hướng $-\overrightarrow{CB} = (-a, a)$.

Vì $CM = CB = |\overrightarrow{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}$,

Ta có:

$$

M = C + (-a, a) = (0 - a, a + a) = (-a, 2a)

$$

---

* $N$ trên tia đối của $AC$:

Tia $AC$ có $A(0,0)$, $C(0,a)$, vector $\overrightarrow{AC} = (0, a)$.

Tia đối của $AC$ tại $A$ là hướng $(0, -a)$.

Vì $AN = AC = a$,

$$

N = A + (0, -a) = (0, -a)

$$

---

* $P$ trên tia đối của $BA$:

Tia $BA$ có $B(a,0)$, $A(0,0)$, vector $\overrightarrow{BA} = (-a,0)$.

Tia đối của $BA$ tại $B$ là hướng $(a, 0)$.

Vì $BP = BA = a$,

$$

P = B + (a, 0) = (a + a, 0) = (2a, 0)

$$

---

### Bước 3: Tính vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{NP}$

$$

\overrightarrow{AM} = M - A = (-a, 2a) - (0,0) = (-a, 2a)

$$

$$

\overrightarrow{NP} = P - N = (2a, 0) - (0, -a) = (2a, a)

$$

---

### Bước 4: Kiểm tra tính vuông góc $AM \perp NP$

Tích vô hướng:

$$

\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NP} = (-a)(2a) + (2a)(a) = -2a^2 + 2a^2 = 0

$$

Vậy $AM \perp NP$.

---

### Bước 5: So sánh độ dài $AM$ và $NP$

$$

|AM| = \sqrt{(-a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a

$$

$$

|NP| = \sqrt{(2a)^2 + (a)^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5} a

$$

Vậy $AM = NP$.

---

## **Kết luận:**

* $AM \perp NP$

* $AM = NP$

---

Nếu bạn cần mình giải thích chi tiết hơn hoặc vẽ hình minh họa, hãy nói nhé!

Tham khảo

Cho $a, b \geq 0$ thỏa mãn $a + b + 2ab = 4$.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$$

P = a^3 + b^3

$$

---

### Bước 1: Phân tích điều kiện

Điều kiện cho $a,b \geq 0$:

$$

a + b + 2ab = 4

$$

---

### Bước 2: Sử dụng biến mới

Đặt $S = a + b$, $P = ab$ (lưu ý, P ở đây khác biểu thức cần tìm, ta tạm dùng $Q = ab$ để tránh nhầm lẫn).

Điều kiện:

$$

S + 2Q = 4 \implies Q = \frac{4 - S}{2}

$$

---

### Bước 3: Viết $a^3 + b^3$ theo $S, Q$

Ta có công thức:

$$

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = S^3 - 3Q S

$$

Thay $Q = \frac{4 - S}{2}$:

$$

a^3 + b^3 = S^3 - 3 \cdot \frac{4 - S}{2} \cdot S = S^3 - \frac{3S(4 - S)}{2} = S^3 - \frac{12S - 3S^2}{2}

$$

$$

= S^3 - 6S + \frac{3S^2}{2} = S^3 + \frac{3}{2}S^2 - 6S

$$

---

### Bước 4: Xác định miền giá trị của $S$

Vì $a,b \geq 0$, với $a,b$ là nghiệm của phương trình

$$

x^2 - Sx + Q = 0 \implies x^2 - Sx + \frac{4 - S}{2} = 0

$$

Phương trình có nghiệm thực không âm khi:

* $\Delta = S^2 - 4Q \geq 0$

* $a,b \geq 0$

Tính $\Delta$:

$$

\Delta = S^2 - 4 \cdot \frac{4 - S}{2} = S^2 - 2(4 - S) = S^2 - 8 + 2S = S^2 + 2S - 8

$$

Điều kiện $\Delta \geq 0$:

$$

S^2 + 2S - 8 \geq 0 \implies (S+4)(S-2) \geq 0

$$

Vì $a,b \geq 0 \implies S = a + b \geq 0$, nên ta lấy:

$$

S \geq 2

$$

Ngoài ra, $S$ còn phải thỏa điều kiện $Q = \frac{4-S}{2} \geq 0$ (vì $Q = ab \geq 0$):

$$

\frac{4 - S}{2} \geq 0 \implies S \leq 4

$$

---

### Vậy miền $S$ là:

$$

2 \leq S \leq 4

$$

---

### Bước 5: Tìm cực trị của $P(S) = S^3 + \frac{3}{2} S^2 - 6S$ trên đoạn $[2,4]$

Tính đạo hàm:

$$

P'(S) = 3S^2 + 3S - 6 = 3(S^2 + S - 2) = 3(S+2)(S-1)

$$

* $P'(S) = 0$ tại $S = -2$ (loại vì ngoài miền) và $S = 1$ (cũng ngoài miền).

Với $S \in [2,4]$, đạo hàm luôn dương vì:

* $S-1 > 0$

* $S+2 > 0$

Vậy $P(S)$ là hàm đồng biến trên $[2,4]$.

---

### Bước 6: Tính $P$ tại các điểm biên

* Tại $S=2$:

$$

P(2) = 2^3 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 = 8 + \frac{3}{2} \cdot 4 - 12 = 8 + 6 - 12 = 2

$$

* Tại $S=4$:

$$

P(4) = 4^3 + \frac{3}{2} \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 = 64 + \frac{3}{2} \cdot 16 - 24 = 64 + 24 - 24 = 64

$$

---

### Bước 7: Kết luận

* Giá trị nhỏ nhất của $a^3 + b^3$ là $2$, đạt khi $S = 2$.

* Giá trị lớn nhất của $a^3 + b^3$ là $64$, đạt khi $S = 4$.

---

### Bước 8: Tìm cặp $(a,b)$ tương ứng

* Với $S=2$, $Q = \frac{4 - 2}{2} = 1$, phương trình:

$$

x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0

$$

Vậy $a = b = 1$.

Giá trị nhỏ nhất $P = 1^3 + 1^3 = 2$.

* Với $S=4$, $Q = \frac{4 - 4}{2} = 0$, phương trình:

$$

x^2 - 4x + 0 = 0 \implies x(x - 4) = 0

$$

Vậy $a=0, b=4$ hoặc ngược lại.

Giá trị lớn nhất $P = 0^3 + 4^3 = 64$.

---

## **Kết quả:**

$$

\boxed{

\begin{cases}

\text{Giá trị nhỏ nhất của } a^3 + b^3 = 2, \text{ khi } a = b = 1 \\

\text{Giá trị lớn nhất của } a^3 + b^3 = 64, \text{ khi } (a,b) = (0,4) \text{ hoặc } (4,0)

\end{cases}

}

$$

Tham khảo

Tình thương là một trong những giá trị quý giá và cần thiết nhất trong cuộc sống của con người. Thường chúng ta nghĩ rằng tình thương chỉ có trong gia đình, nhất là tình mẫu tử thiêng liêng. Tuy nhiên, qua hình ảnh người lính trong bài thơ "Bên bếp lửa", ta thấy rằng tình thương không nhất thiết phải là ruột thịt mới sâu sắc và thấm thía. Người lính ấy dù không có quan hệ huyết thống với người mẹ kể chuyện, nhưng tình cảm yêu thương mà người mẹ dành cho anh đã giúp anh vượt qua những khó khăn, trở thành nguồn động viên lớn lao cho anh trên con đường gian lao phía trước.

Từ đó, ta rút ra bài học rằng trong cuộc sống, bên cạnh tình cảm gia đình, con người rất cần sự quan tâm, chia sẻ và yêu thương từ mọi người xung quanh như bạn bè, thầy cô, đồng nghiệp… Những tình cảm đó tạo nên một môi trường xã hội ấm áp, giúp mỗi người cảm thấy được trân trọng và có động lực phấn đấu trong học tập, công việc cũng như trong cuộc sống hàng ngày.

Chúng ta không thể sống một mình mà không có sự hỗ trợ của người khác. Chính vì vậy, xây dựng và duy trì những mối quan hệ tốt đẹp dựa trên tình yêu thương và sự cảm thông là điều vô cùng cần thiết. Tình thương ấy không chỉ giúp chúng ta cảm thấy ấm lòng, mà còn nuôi dưỡng tâm hồn và góp phần làm cho xã hội trở nên tốt đẹp hơn.

Cuối cùng, mỗi người chúng ta nên biết trân trọng và dành tình cảm chân thành cho những người xung quanh, không phân biệt họ có phải là người thân trong gia đình hay không. Bởi chính tình thương là nguồn sức mạnh giúp con người vượt qua thử thách và xây dựng một cuộc sống hạnh phúc, ý nghĩa.

Tham khảo

Bạn đang viết phương trình:

$$

3,(3) \cdot x = 1

$$

Trong đó **3,(3)** nghĩa là số **thập phân vô hạn tuần hoàn**:

$$

3,(3) = 3.33333\ldots

$$

---

### ✅ Bước 1: Đổi $3,(3)$ thành phân số

Ta biết:

$$

3,(3) = \frac{10}{3}

$$

---

### ✅ Bước 2: Giải phương trình

$$

\frac{10}{3} \cdot x = 1

$$

Nhân hai vế với $\frac{3}{10}$:

$$

x = 1 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{10}

$$

---

### ✅ Kết luận:

$$

\boxed{x = \frac{3}{10}}

$$

Cái này copy à