Bài tập tự luận: Hình bình hành

Bài 1

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành;

b) EF = AD, AF = EC.

Hướng dẫn giải:

loading...

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE =

1

2

2

1

​

AB, CF = DF =

1

2

2

1

​

CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE =

1

2

2

1

AB, CF = DF =

1

2

2

1

CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Bài 2

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh

Δ

ΔOAM =

Δ

ΔOCN. Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

loading...

Vì

A

B

C

D

ABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo

A

C

AC và

B

D

BD cắt nhau tại

O

O nên

O

A

=

O

C

OA=OC,

O

B

=

O

D

OB=OD.

+

A

B

AB //

C

D

CD nên

A

M

AM //

C

N

CN suy ra

O

A

M

^

=

O

C

N

^

OAM

=

OCN

(hai góc so le trong).

Xét

Δ

O

A

M

ΔOAM và

Δ

O

C

N

Δ OCN có:

$\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)

O

A

=

O

C

OA=OC (chứng minh trên)

A

O

M

^

=

AOM

=\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)

Do đó

Δ

O

A

M

=

Δ

O

C

N

Δ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra

A

M

=

C

N

AM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác,

A

B

=

C

D

AB=CD (chứng minh trên);

A

B

=

A

M

+

B

M

AB=AM+BM;

C

D

=

C

N

+

D

N

CD=CN+DN.

Suy ra

B

M

=

D

N

BM=DN.

Xét tứ giác

M

B

N

D

MBND có:

B

M

BM //

D

N

DN (vì

A

B

AB //

C

D

CD)

B

M

=

D

N

BM=DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác

M

B

N

D

MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD. Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 1 2 2 1 AB, CF = DF = 1 2 2 1 CD Do đó AE = BE = CF = DF. Xét tứ giác AEFD có: AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD); AE = CF (chứng minh trên) Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD. Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC. Vậy EF = AD, AF = EC.