(a2+ab+b2−3)2+3(a−b)2=0

\(a^{2} + a b + b^{2} = 3\) và \(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = 0\)

\(a^{2} + a b + b^{2} = 3\) và \(a = b\)

Thay \(a = b\) vào \(a^{2} + a b + b^{2} = 3\), ta được:

\(a^{2} + a . a + a^{2} = 3\)

\(a^{2} = 1\)

Hay \(a = b = 1\) hoặc \(a = b = - 1\)

Vậy ta tìm được hai cặp \(\left(\right. a ; b \left.\right)\) là \(\left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. - 1 ; - 1 \left.\right)\)

1) Diện đáy của hình chóp tứ giác đều là

\(6 250.3 : 30 = 625\) (cm\(^{2}\))

Độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là

\(\sqrt{625} = 25\) (cm)

2)

a) Xét tứ giác \(B M C N\) có hai đường chéo \(M N\) và \(B C\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, đo đó \(B M N C\) là hình bình hành

b) Vì \(B M C N\) là hình bình hành nên ta suy ra \(B M / / N C\). Vậy \(B K C N\) là hình thang. Mặt khác do \(\hat{B K C} = 9 0^{\circ}\) nên \(B M C N\) là hình thang cân

c) Để \(B M C N\) là hình thoi thì \(M D \bot B C\)

Mặt khác ta cũng có \(A M \bot B C\) (giao điểm ba đường cao)

Kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(B C\), từ đây ta suy ra

\(M D / / d\) và \(A M / / d\). Vậy theo tiên đề Euclid, ta có 3 điểm \(M , A , D\) thẳng hàng, hay \(A D\) vừa là đường cao và vừa là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta A M D = \Delta A D C\), từ đó suy ra \(A B = A C\), hay tam giác \(A B C\) cân tại \(A\)

Vậy để \(B M C N\) là hình thoi thì \(\Delta A B C\) là tam giác cân

Gọi phương trình đường thẳng \(A B\) là \(y = a x + b\) \(\left(\right. a , b \in \mathbb{R}\) và \(a \neq 0 \left.\right)\)

Ta có \(A \left(\right. - 3 ; 0 \left.\right) \in A B\) suy ra \(0 = a . \left(\right. - 3 \left.\right) + b\) hay \(b = 3 a\)

\(B \left(\right. 0 ; 2 \left.\right) \in A B\) suy ra \(2 = a . 0 + b\) hay \(b = 2\) Từ đó suy ra \(a = \frac{2}{3}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(A B\) là \(y = \frac{2}{3} x + 2\)

a) Điều kiện: \(x \neq 0 , x \neq - 5\).

b) \(A = \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} - \frac{5 x - 50}{2 x \left(\right. x + 5 \left.\right)}\)

\(= \frac{x^{2} + 2 x}{2 x + 10} + \frac{x - 5}{x} + \frac{50 - 5 x}{2 x \left(\right. x + 5 \left.\right)}\)

\(= \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 2 x^{2} - 50 + 50 - 5 x}{2 x \left(\right. x + 5 \left.\right)}\)

\(= \frac{x \left(\right. x^{2} + 2 x + 2 x - 5 \left.\right)}{2 x \left(\right. x + 5 \left.\right)}\)

\(= \frac{x^{2} - x + 5 x - 5}{2 \left(\right. x + 5 \left.\right)}\)

\(= \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 5 \left.\right)}{2 \left(\right. x + 5 \left.\right)} = \frac{x - 1}{2}\)

Nếu giá trị của biểu thức bằng \(1\) thì giá trị của \(\frac{x - 1}{2}\) cũng bằng \(1\). Ta có : \(\frac{x - 1}{2} = 1\) khi \(x - 1 = 2\) hay \(x = 3\)

Vì \(x = 3\) thoả mãn điều kiện nên đó là giá trị phải tìm.

c) Tương tự \(\frac{x - 1}{2} = - \frac{1}{2}\) khi \(x - 1 = - 1\) hay \(x = 0\) (không thoả mãn điều kiện). Vậy không có giá trị nào của \(x\) để phân thức có giá trị bằng \(- \frac{1}{2}\)

d) Tương tự \(\frac{x - 1}{2} = - 3\) khi \(x - 1 = - 6\) hay \(x = - 5\) (không thoả mãn điểu kiện). Vậy không có giá trị nào của \(x\) để phân thức có giá trị bằng \(-3\)

a) \(2 x \left(\right. x - 3 y \left.\right) - 25 \left(\right. 3 y - x \left.\right)\)

\(=2x\left(\right.x-3y\left.\right)+25\left(\right.x-3y\left.\right)\)

\(=\left(\right.2x+25\left.\right)\left(\right.x-3y\left.\right)\)

b) \(36 x^{2} - 24 x + 4\)

\(= \left(\right. 6 x \left.\right)^{2} - 2.6 x . 2 + 2^{2}\)

\(= \left(\right. 6 x - 2 \left.\right)^{2}\)

c) \(\left(\right. 3 x + 2 \left.\right)^{2} + 2. \left(\right. 3 x + 2 \left.\right) . \left(\right. 3 x - 1 \left.\right) + \left(\right. 3 x - 1 \left.\right)^{2}\)

\(= \left(\right. 3 x + 2 + 3 x - 1 \left.\right)^{2}\)

\(= \left(\right. 6 x + 1 \left.\right)^{2}\)

a) Ở mỗi mặt, có \(4\) hình lập phương nhỏ được sơn một mặt (các hình được gạch sọc).

Ở sáu mặt có: \(\)6.4=24  (hình).

b) Ở mỗi cạnh, có \(2\) hình lập phương được sơn hai mặt (các hình ghi dấu "\(x\)")

Ở \(12\) cạnh có : \(2.12 = 24\) (hình)

Ta có: \(A B = A D + D B\)

Suy ra \(D B = A B - A D = 10 - 6 = 4\) cm

\(A M\) là trung tuyến của \(\Delta A B C\) suy ra \(M\) là trung điểm của \(B C\)

Suy ra \(B M = C M = \frac{1}{2} B C = 15\) cm

 Xét \(\Delta A B M\) có \(M D\) là phân giác của góc \(A M B\) nên

\(\frac{A M}{B M} = \frac{A D}{D B}\)

\(\frac{A M}{B M} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\)

Do đó \(A M = \frac{3}{2} . B M = \frac{3}{2} . 15 = 22 , 5\) (cm)

a) Xét \(\Delta A E H\) và \(\Delta A H B\) có:

\(\hat{B A H}\) chung và \(\hat{A E H} = \hat{A H B} = 9 0^{\circ}\)

Do đó \(\Delta A E H \sim \Delta A H B\) (g.g)

Suy ra \(\frac{A H}{A B} = \frac{A E}{A H}\) hay \(A H^{2} = A E . A B\) (1)

b) Chứng minh tương tự \(\Delta A H F \sim \Delta A C H\) (g.g) 

Suy ra \(\frac{A H}{A C} = \frac{A F}{A H}\) hay \(A H^{2} = A F . A C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A E . A B = A F . A C\)

c) Ta có \(A E . A B = A F . A C\) nên \(\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}\)

Xét \(\Delta A E F\) và \(\Delta A C B\) có:

\(\hat{E A F}\) chung

\(\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}\) (cmt)

Do đó \(\Delta A E F \&\text{nbsp}; \sim \Delta A C B\) (c.g.c)

Suy ra \(\frac{E F}{C B} = \frac{P_{A E F}}{P_{A C B}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\) (tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{S_{A E F}}{4} = \frac{S_{A C B}}{9} = \frac{S_{A C B} - S_{A E F}}{9 - 4} = \frac{25}{5} = 5\)

Suy ra

\(S_{A E F} = 5.4 = 20\) cm\(^{2}\);

\(S_{A C B} = 5.9 = 45\) cm\(^{2}\)

Vậy \(S_{A E F} = 20\) cm\(^{2}\) và \(S_{A C B} = 45\) cm\(^{2}\)

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (km/h, \(x > 3\))

Vận tốc ca nô khi đi xuôi khúc sông từ \(A\) đến \(B\) là: \(x + 3\) (km/h);

Vận tốc ca nô khi đi ngược khúc sông từ \(B\) về \(A\) là: \(x - 3\) (km/h);

Khúc sông \(A B\) có chiều dài không đổi nên ta có phương trình: \(\frac{3}{2} \left(\right. x + 3 \left.\right) = 2 \left(\right. x - 3 \left.\right)\)

Giải phương trình trên ta nhận được \(x = 21\) (thỏa mãn)

Do đó vận tốc riêng của ca nô là \(21\) km/h

Chiều dài khúc sông là: \(2 \left(\right. 21 - 3 \left.\right) = 36\) (km)

Vậy vận tốc riêng của cano là \(21\) km/h, chiều dài khúc sông là \(36\) km

a. Ta có: \(3 x - 4 = 5 + x\)

\(3 x - x = 5 + 4\)

\(2 x = 9\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{9}{2}\)

b. Ta có: \(3 \left(\right. x - 1 \left.\right) - 7 = 5 \left(\right. x + 2 \left.\right)\)

\(3 x - 3 - 7 = 5 x + 10\)

\(5 x - 3 x = - 3 - 7 - 10\)

\(2 x = - 20\)

\(x = - 10\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 10\)