Bài 3.

Ký hiệu các đại lượng:

* Khối lượng của vật, m = 0,2 \, \text{kg}

* Độ cao ban đầu, H = 10 \, \text{m}

* Gia tốc trọng trường, g = 10 \, \text{m/s}^2

* Gốc thế năng chọn ở mặt đất.

a. Thế năng của vật ở độ cao ban đầu và động năng của vật lúc sắp chạm mặt đất. Nêu nhận xét về kết quả thu được.

* Thế năng của vật ở độ cao ban đầu (W_{P1}):

Khi vật ở độ cao H = 10 \, \text{m} so với mặt đất, thế năng của vật là:

W_{P1} = mgh

W_{P1} = 0,2 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times 10 \, \text{m}

W_{P1} = 20 \, \text{J}

* Động năng của vật lúc sắp chạm mặt đất (W_{K2}):

Khi vật sắp chạm mặt đất (độ cao h=0), vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất.

Chúng ta có thể sử dụng định luật bảo toàn cơ năng (vì bỏ qua sức cản không khí).

Cơ năng ban đầu (W_{C1}) = Thế năng ban đầu (W_{P1}) + Động năng ban đầu (W_{K1})

Vì vật được thả rơi tự do, vận tốc ban đầu v_0 = 0, nên động năng ban đầu W_{K1} = 0.

W_{C1} = W_{P1} + 0 = 20 \, \text{J}

Cơ năng lúc sắp chạm mặt đất (W_{C2}) = Thế năng lúc sắp chạm đất (W_{P2}) + Động năng lúc sắp chạm đất (W_{K2})

Lúc sắp chạm đất, độ cao h = 0, nên thế năng W_{P2} = 0.

W_{C2} = 0 + W_{K2} = W_{K2}

Theo định luật bảo toàn cơ năng: W_{C1} = W_{C2}

20 \, \text{J} = W_{K2}

Vậy, động năng của vật lúc sắp chạm mặt đất là 20 \, \text{J}.

* Nhận xét:

Kết quả cho thấy thế năng ban đầu của vật bằng động năng của vật lúc sắp chạm mặt đất. Điều này phù hợp với định luật bảo toàn cơ năng trong trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực (bỏ qua sức cản của không khí). Toàn bộ thế năng ban đầu đã chuyển hóa thành động năng khi vật rơi đến mặt đất.

b. Độ cao của vật ở vị trí mà động năng bằng thế năng trong khi đang rơi.

Gọi h' là độ cao của vật tại vị trí mà động năng bằng thế năng, tức là W_{K'} = W_{P'}.

Tại vị trí này, cơ năng của vật là:

W_C = W_{P'} + W_{K'}

Vì W_{K'} = W_{P'}, nên:

W_C = W_{P'} + W_{P'} = 2W_{P'}

Hoặc W_C = W_{K'} + W_{K'} = 2W_{K'}

Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ năng của vật luôn không đổi và bằng cơ năng ban đầu:

W_C = W_{C1} = 20 \, \text{J}

Từ đó, ta có:

2W_{P'} = 20 \, \text{J}

W_{P'} = 10 \, \text{J}

Mặt khác, thế năng tại độ cao h' được tính bằng:

W_{P'} = mgh'

10 \, \text{J} = 0,2 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times h'

10 = 2 h'

h' = \frac{10}{2}

h' = 5 \, \text{m}

Vậy, độ cao của vật ở vị trí mà động năng bằng thế năng trong khi đang rơi là 5 \, \text{m}.

Tóm tắt kết quả:

a. Thế năng của vật ở độ cao ban đầu là 20 \, \text{J}. Động năng của vật lúc sắp chạm mặt đất là 20 \, \text{J}.

Nhận xét: Thế năng ban đầu bằng động năng lúc chạm đất, thể hiện sự bảo toàn cơ năng.

b. Độ cao của vật ở vị trí mà động năng bằng thế năng là 5 \, \text{m}.

Bài 2.

Ký hiệu các đại lượng:

* Khối lượng của thang máy, m = 1200 \, \text{kg}

* Quãng đường thang máy đi lên, h = 10 \, \text{m}

* Gia tốc trọng trường, g = 10 \, \text{m/s}^2

a. Thang máy đi lên đều với vận tốc 1 m/s.

Khi thang máy đi lên đều, gia tốc bằng 0. Theo định luật II Newton, tổng các lực tác dụng lên thang máy bằng 0.

Các lực tác dụng lên thang máy là:

* Lực kéo của động cơ (lực căng dây cáp), F (hướng lên)

* Trọng lực của thang máy, P = mg (hướng xuống)

Vì thang máy chuyển động đều, nên:

F - P = 0

F = P = mg

F = 1200 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2

F = 12000 \, \text{N}

Công suất của động cơ khi thang máy chuyển động đều được tính bằng công thức:

\text{Công suất} = \text{Lực} \times \text{Vận tốc}

P = F \times v

Với v = 1 \, \text{m/s}

P = 12000 \, \text{N} \times 1 \, \text{m/s}

P = 12000 \, \text{W} = 12 \, \text{kW}

b. Thang máy xuất phát đi lên nhanh dần đều với gia tốc 0,8 m/s$^2$.

Khi thang máy đi lên nhanh dần đều, có gia tốc a = 0.8 \, \text{m/s}^2.

Theo định luật II Newton:

F - P = ma

F = P + ma

F = mg + ma

F = m(g + a)

F = 1200 \, \text{kg} \times (10 \, \text{m/s}^2 + 0.8 \, \text{m/s}^2)

F = 1200 \, \text{kg} \times 10.8 \, \text{m/s}^2

F = 12960 \, \text{N}

Để tính công suất trung bình, chúng ta cần tính công thực hiện bởi động cơ và thời gian chuyển động.

Công thực hiện bởi động cơ:

A = F \times h

A = 12960 \, \text{N} \times 10 \, \text{m}

A = 129600 \, \text{J}

Để tìm thời gian, ta sử dụng công thức chuyển động nhanh dần đều:

h = v_0 t + \frac{1}{2}at^2

Vì thang máy xuất phát, nên vận tốc ban đầu v_0 = 0.

10 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 0.8 \times t^2

10 = 0.4 t^2

t^2 = \frac{10}{0.4}

t^2 = 25

t = \sqrt{25} = 5 \, \text{s}

Công suất trung bình của động cơ được tính bằng:

\text{Công suất trung bình} = \frac{\text{Công thực hiện}}{\text{Thời gian}}

P_{tb} = \frac{A}{t}

P_{tb} = \frac{129600 \, \text{J}}{5 \, \text{s}}

P_{tb} = 25920 \, \text{W} = 25.92 \, \text{kW}

Tóm tắt kết quả:

a. Công suất của động cơ khi thang máy đi lên đều là 12000 \, \text{W} (hoặc 12 \, \text{kW}).

b. Công suất trung bình của động cơ khi thang máy đi lên nhanh dần đều là 25920 \, \text{W} (hoặc 25.92 \, \text{kW}).

Chắc chắn rồi, chúng ta hãy cùng giải Bài 1.

Đề bài:

Một vật có khối lượng 1,5 kg trượt từ đỉnh với vận tốc ban đầu 2 m/s xuống chân dốc nghiêng một góc 30^\circ so với phương ngang. Vật đạt vận tốc 6 m/s khi đến chân dốc. Biết dốc dài 8 m. Lấy g = 10 \, \text{m/s}^2. Tính:

a. Công của trọng lực.

b. Công của lực ma sát.

Lời giải:

Ký hiệu các đại lượng:

* Khối lượng của vật, m = 1.5 \, \text{kg}

* Vận tốc ban đầu, v_i = 2 \, \text{m/s}

* Vận tốc cuối, v_f = 6 \, \text{m/s}

* Góc nghiêng của dốc, \theta = 30^\circ

* Chiều dài dốc, d = 8 \, \text{m}

* Gia tốc trọng trường, g = 10 \, \text{m/s}^2

a. Công của trọng lực (A_P)

Công của trọng lực phụ thuộc vào độ cao mà vật di chuyển theo phương thẳng đứng.

Độ cao h có thể tìm được bằng lượng giác:

h = d \sin \theta

h = 8 \sin 30^\circ

h = 8 \times 0.5

h = 4 \, \text{m}

Công của trọng lực được tính bằng công thức:

A_P = mgh

A_P = 1.5 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 \times 4 \, \text{m}

A_P = 60 \, \text{J}

b. Công của lực ma sát (A_{ms} hoặc A_F)

Chúng ta có thể sử dụng Định lý Động năng, phát biểu rằng tổng công của các lực tác dụng lên vật bằng độ biến thiên động năng của vật.

Các lực thực hiện công ở đây là trọng lực và lực ma sát. Vì vậy, A_{tổng} = A_P + A_{ms}.

Độ biến thiên động năng là:

\Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2

\Delta K = \frac{1}{2}m(v_f^2 - v_i^2)

\Delta K = \frac{1}{2} \times 1.5 \, \text{kg} \times ((6 \, \text{m/s})^2 - (2 \, \text{m/s})^2)

\Delta K = \frac{1}{2} \times 1.5 \times (36 - 4)

\Delta K = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 32

\Delta K = 1.5 \times 16

\Delta K = 24 \, \text{J}

Theo Định lý Động năng:

A_P + A_{ms} = \Delta K

60 \, \text{J} + A_{ms} = 24 \, \text{J}

A_{ms} = 24 \, \text{J} - 60 \, \text{J}

A_{ms} = -36 \, \text{J}

Dấu âm cho thấy công của lực ma sát ngược chiều với hướng chuyển động, điều này là hợp lý.

Tóm tắt kết quả:

a. Công của trọng lực là 60 \, \text{J}.

b. Công của lực ma sát là -36 \, \text{J}.