Gọi F là giao điểm của BH với CK

Xét ΔHBC vuông tại H có \(\hat{H B C} + \hat{H C B} = 9 0^{0}\)

=>\(\hat{H B C} = 9 0^{0} - \hat{H C B}\)

=>\(\hat{FBC}=90^0-\hat{A C B}\)

Xét ΔKBC vuông tại K có \(\hat{K B C} + \hat{K C B} = 9 0^{0}\)

=>\(\hat{K C B} = 9 0^{0} - \hat{K B C}\)

=>\(\hat{FCB}=90^0-\hat{A B C}\)

Xét ΔABC có

\(\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 18 0^{0}\)

=>\(\hat{A B C} + \hat{A C B} = 18 0^{0} - 4 5^{0} = 13 5^{0}\)

Xét ΔFBC có \(\hat{FBC}+\hat{FCB}+\hat{FMC}=180^0\)

=>\(\hat{BFC}=180^0-\hat{\left(\right.FBC}+\hat{FCB}\left.\right)\)

\(= 18 0^{0} - \left(\right. 9 0^{0} - \hat{A B C} + 9 0^{0} - \hat{A C B} \left.\right)\)

\(= \hat{A B C} + \hat{A C B} = 13 5^{0}\)

=>\(\hat{FBC}+\hat{FCB}=45^0\)

Xét (O) có

\(\hat{C A D}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

\(\hat{C B D}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

Do đó: \(\hat{C A D} = \hat{C B D}\)

Xét (O) có

\(\hat{E A B}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

\(\hat{E C B}\) là góc nội tiếp chắn cung EB

Do đó: \(\hat{E A B} = \hat{E C B}\)

\(\hat{E A B} + \hat{C A D} = \hat{E C B} + \hat{D B C}\)

\(=\hat{FBC}+\hat{FCB}=45^0\)

\(\hat{E A D} = \hat{E A B} + \hat{B A C} + \hat{C A D}\)

\(= 4 5^{0} + 4 5^{0} = 9 0^{0}\)

=>ΔEAD vuông tại A

=> ΔEAD nội tiếp đường tròn đường kính ED

mà ΔEAD nội tiếp (O)

=> OE, OD là các bán kính của đường tròn tâm O đường kính ED

nên O là trung điểm của ED

=>E,O,D thẳng hàng

Gọi AD là đường kính của (O)=> AD= 2R

Xét (O):

\(\hat{ABC}\) = \(\hat{ADC}\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung AC)

Lại có B, C là các điểm \(\in\) đường tròn đường kính AD.

=> \(\hat{ABD}=90^{o}\) ; \(\hat{ACD}=90^{o}\)

Xét △AHB và △ACD có:

\(\hat{AHB}=\hat{ACD}\left(=90^{o}\right)\)

\(\hat{ABH}=\hat{ADC}\) (cmt)

Do đó △AHB ∼ △ACD

=>\(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\)

=>\(A B \cdot A C = A H \cdot A D = 2 R \cdot A H\)

Vì AH ⊥ BC=>  \(\hat{BAH}=90^{o}-\hat{ABC}\) (1)

Lại có, △ \(A B C\) nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên

=>\(\hat{AOC}=\hat{2ABC}\) ( góc ở tâm= 2 lần góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét tam giác \(A O C\) cân tại O (do \(O A = O C\)), ta có:

\(\hat{OAC}=\frac{180^{o}-\hat{AOC}}{2}=\frac{180^{o}-\hat{2ABC}}{2}=90^{o}-\hat{ABC}\) (2)

Từ (1) và (2)=> \(\hat{BAH}=\hat{OAC}\)

Vì AH ⊥ BC=>  \(\hat{BAH}=90^{o}-\hat{ABC}\) (1)

Lại có, △ \(A B C\) nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) nên

=>\(\hat{AOC}=\hat{2ABC}\) ( góc ở tâm= 2 lần góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Xét tam giác \(A O C\) cân tại O (do \(O A = O C\)), ta có:

\(\hat{OAC}=\frac{180^{o}-\hat{AOC}}{2}=\frac{180^{o}-\hat{2ABC}}{2}=90^{o}-\hat{ABC}\) (2)

Từ (1) và (2)=> \(\hat{BAH}=\hat{OAC}\)