Do BH, CK là đường cao ∆ABC nên BH ⊥ AC, CK ⊥ AB

Xét ∆ABH vuông tại H có ^BAH=45∘ nên ^ABH=90∘−^BAH=90∘−45∘=45∘

Mặt khác, ^ABD=^ACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên ˆACD=45∘(1)

Tương tự, ta có ^ACK=90∘−^CAK=90∘−45∘=45∘(2)

Từ (1) và (2) suy ra ^DCE=^ACD+^ACK=45∘+45∘=90∘

Mà ˆDCE là góc nội tiếp chắn cung DE nên DE là đường kính của đường tròn (O)

Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng(đpcm)

Gọi AD là đường kính của (O)

Xét (O) có

\(\hat{A B C}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\hat{A D C}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{A B C} = \hat{A D C}\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔACD vuông tại C có

\(\hat{A B H} = \hat{A D C}\)

Do đó: ΔAHB~ΔACD

=>\(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\)

=>\(A B \cdot A C = A H \cdot A D = 2 R \cdot A H\)

Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy  ^ACE=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ đó  ^OAC+^AEC=90°(1)

Theo giả thiết bài ra, ta có:  ^BAH+^ABC=90°(2)

 Lại vì  ^AEC=^ABC (cùng chắn AC^)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  ^BAH=^OAC (đpcm).