Ta có \(BH\bot AC\) nên \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\).

Mà \(\hat{B A H} = 4 5^{\circ}\) nên \(\hat{A B H^{'}}=45^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{A B D}=\hat{A C D}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(A D\)) nên \(\hat{A C D}=45^{\circ}\). (1)

\(CK\bot AB\) nên \(\Delta A C K\) vuông tại \(K\).

Mà \(\hat{C A K}=45^{\circ}\) nên \(\hat{A C K}=45^{\circ}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\hat{D C E}=90^{\circ}\) nên \(D E\) là đường kính.

Vậy \(D\), \(O\), \(E\) thẳng hàng.

Ta có

\(S_{A B C} = \frac{B C . A B . A C}{4 R} = \frac{B C . A H}{2} \Rightarrow A B . A C = 2 R . A H\)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\hat{A C E} = 9 0^{o}\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow \hat{O A C} + \hat{A E C} = 9 0^{o}\) (1)

Theo gt, ta có: \(\hat{B A H} + \hat{A B C} = 9 0^{O}\) (2)

Lại có: \(\hat{A E C} = \hat{A B C}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm