Ta có \(BH\bot AC\) ⇒ \(\Delta A B H\) vuông tại \(H\).

Mà \(\hat{B A H} = 4 5^{\circ}\) ⇒ \(\hat{A B H^{'}}=45^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{A B D}=\hat{A C D}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(A D\)) ⇒ \(\hat{A C D}=45^{\circ}\). (1)

\(CK\bot AB\) ⇒ \(\Delta A C K\) vuông tại \(K\).

Mà \(\hat{C A K}=45^{\circ}\) ⇒ \(\hat{A C K}=45^{\circ}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\hat{D C E}=90^{\circ}\) ⇒ \(D E\) là đường kính.

Vậy \(D\), \(O\), \(E\) thẳng hàng.

Vẽ đường kính \(A D\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), suy ra \(\hat{A C D} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \(\Delta H B A\) và \(\Delta C D A\) có:

\(\hat{A H B} = \hat{A C D} = 9 0^{\circ}\);

\(\hat{H B A} = \hat{C D A}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC);

⇒ \(\Delta H B A \sim \Delta C D A\)

⇒ \(\frac{A H}{A C} = \frac{A B}{A D}\) nên \(A B . A C = A D . A H\).

Mà \(A D = 2 R\).

Do đó \(A B . A C = 2 R . A H\). ( đpcm)

Ta có góc ACB = 1/2 góc BOA ( góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cùng một cung)

Lại có: Tam giác ABO là tam giác cân tại O ⇒ góc BAO = (180 độ - góc BOA ) /2

= 90 độ -1/2 góc BOA

= 90 độ - góc ACB

= góc HAC ( tam giác HAC vuông tại H)

⇒ BAO - HAO = HAC - HAO ⇒ BAH = OAC ( đpcm)