Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được:

AB = AD, ˆB=ˆD; BE = DF

Từ đó suy ra ΔABE = ΔADF (c.g.c)

Suy ra ˆA1=ˆA4 (hai góc tương ứng).

Mà AC là phân giác của ˆA 

=> ˆA2=ˆA3 (1)

Do đó AO là phân giác của ˆHAG

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

a) Chứng minh \(A E F D\) và \(A B F C\) là hình bình hành

Tính các vectơ cạnh:

• Với tứ giác \(A E F D\):
  \(\overset{\rightarrow}{A E} = E - A = 2 \mathbf{b} , \overset{\rightarrow}{F D} = D - F = \mathbf{d} - \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - 2 \mathbf{b} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{A E} = - \overset{\rightarrow}{F D}\) ⇒ \(A E \parallel F D\) và bằng về độ dài.
  \(\overset{\rightarrow}{E F} = F - E = \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - 2 \mathbf{b} = \mathbf{d} , \overset{\rightarrow}{D A} = A - D = - \mathbf{d} .\)
  Vậy \(\overset{\rightarrow}{E F} = - \overset{\rightarrow}{D A}\) ⇒ \(E F \parallel D A\).
  Hai cặp cạnh đối song song nên \(A E F D\) là hình bình hành.
• Với tứ giác \(A B F C\):
  \(\overset{\rightarrow}{A B} = \mathbf{b} , \overset{\rightarrow}{F C} = C - F = \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - \mathbf{b} ,\)
  nên \(A B \parallel F C\).
  \(\overset{\rightarrow}{B F} = F - B = \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{d} , \overset{\rightarrow}{A C} = C - A = \mathbf{b} + \mathbf{d} ,\)
  nên \(B F \parallel A C\).
  Do đó \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau

Tính trung điểm từng đoạn:

• Trung điểm của \(A F\):
  \(\frac{A + F}{2} = \frac{0 + \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right)}{2} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d} .\)
• Trung điểm của \(D E\):
  \(\frac{D + E}{2} = \frac{\mathbf{d} + 2 \mathbf{b}}{2} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d} .\)
• Trung điểm của \(B C\):
  \(\frac{B + C}{2} = \frac{\mathbf{b} + \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right)}{2} = \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d} .\)

Tất cả đều cùng điểm \(\mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{d}\). Vậy ba trung điểm trùng nhau.

Giải:

a)

• Vì \(A H \bot B D\), \(C K \bot B D\) ⇒ \(A H \parallel C K\).
• Trong hình bình hành \(A B C D\), \(A C \parallel B D\).
  Mà \(H , K \in B D\) ⇒ \(H K \parallel A C\).
• Vậy \(A H \parallel C K\), \(A C \parallel H K\).

⇒ \(A H C K\) là hình bình hành.

b)

• Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\).
• Trong hình bình hành \(A H C K\), \(I\) cũng là trung điểm của \(A C\).
• Nhưng \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường chéo (tính chất hình bình hành \(A B C D\)).
• Dễ thấy \(I\) cũng là trung điểm của \(B D\).

⇒ \(I B = I D\).

Giải:

a)

• Vì \(A H \bot B D\), \(C K \bot B D\) ⇒ \(A H \parallel C K\).
• Trong hình bình hành \(A B C D\), \(A C \parallel B D\).
  Mà \(H , K \in B D\) ⇒ \(H K \parallel A C\).
• Vậy \(A H \parallel C K\), \(A C \parallel H K\).

⇒ \(A H C K\) là hình bình hành.

b)

• Gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\).
• Trong hình bình hành \(A H C K\), \(I\) cũng là trung điểm của \(A C\).
• Nhưng \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường chéo (tính chất hình bình hành \(A B C D\)).
• Dễ thấy \(I\) cũng là trung điểm của \(B D\).

⇒ \(I B = I D\).