Nguyễn Tuấn Kiệt
Giới thiệu về bản thân
Ta cần kiểm tra xem \(\overset{\rightarrow}{P Q}\) và \(\overset{\rightarrow}{M N}\) có song song và bằng nhau không.
Tính \(\overset{\rightarrow}{P Q}\):
\(\overset{\rightarrow}{P Q} = \overset{\rightarrow}{Q} - \overset{\rightarrow}{P} = \frac{A + B + 4 C}{6} - \frac{A + 4 B + C}{6} = \frac{- 3 B + 3 C}{6} = \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{B} \left.\right) = \frac{1}{2} \overset{\rightarrow}{B C} .\)
Tính \(\overset{\rightarrow}{M N}\):
\(\overset{\rightarrow}{M N} = \overset{\rightarrow}{N} - \overset{\rightarrow}{M} = \frac{A + B}{2} - \frac{A + C}{2} = \frac{B - C}{2} = - \frac{1}{2} \left(\right. \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{B} \left.\right) = - \overset{\rightarrow}{P Q} .\)
⟹ \(\overset{\rightarrow}{P Q} \parallel \overset{\rightarrow}{M N}\) và \(P Q = M N\).
a) Chứng minh AEFD và ABFC là hình bình hành
(1) Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành
Ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau.
Dùng vectơ:
\(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{E} - \overset{\rightarrow}{A} = \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A} \left.\right) - \overset{\rightarrow}{A} = 2 \overset{\rightarrow}{B} - 2 \overset{\rightarrow}{A} = 2 \overset{\rightarrow}{A B} .\) \(\overset{\rightarrow}{D F} = \overset{\rightarrow}{F} - \overset{\rightarrow}{D} = \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D} \left.\right) - \overset{\rightarrow}{D} = 2 \overset{\rightarrow}{C} - 2 \overset{\rightarrow}{D} = 2 \overset{\rightarrow}{C D} .\)Mà trong hình bình hành \(A B C D\) ta có \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{\rightarrow}{C D}\),
⟹ \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{\rightarrow}{D F}\).
Vậy \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\).
Tương tự, ta có \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{\rightarrow}{B C}\), nên:
\(\overset{\rightarrow}{E D} = \overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{E} = \overset{\rightarrow}{D} - \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A} \left.\right) = \overset{\rightarrow}{A D} - 2 \overset{\rightarrow}{A B} .\)Cách đơn giản hơn: Từ việc \(A E \parallel D F\) và \(A D \parallel E F\) (vì \(A D , B C\) song song và các điểm tương ứng trên cạnh song song), ta kết luận:
➡ Tứ giác AEFD có hai cặp cạnh đối song song,
⟹ AEFD là hình bình hành.
(2) Chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành
Xét \(\overset{\rightarrow}{B F}\) và \(\overset{\rightarrow}{A C}\):
\(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{\rightarrow}{F} - \overset{\rightarrow}{B} = \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D} \left.\right) - \overset{\rightarrow}{B} .\)Nhưng vì trong hình bình hành \(\overset{\rightarrow}{D} = \overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{C}\),
thay vào ta được:
Vậy \(B F = A C\) và \(B F \parallel A C\).
Do đó, tứ giác \(A B F C\) có hai cặp cạnh đối song song
⟹ ABFC là hình bình hành.
b) Chứng minh các trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau
Gọi trung điểm của:
- \(A F\) là \(I\),
- \(D E\) là \(J\),
- \(B C\) là \(K\).
Ta cần chứng minh \(I \equiv J \equiv K\).
Dùng vectơ:
\(\overset{\rightarrow}{I} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{F}}{2} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} + \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{C} - \overset{\rightarrow}{D} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{\rightarrow}{A} - \overset{\rightarrow}{D}}{2} + \overset{\rightarrow}{C} .\) \(\overset{\rightarrow}{J} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} + \overset{\rightarrow}{E}}{2} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} + \left(\right. 2 \overset{\rightarrow}{B} - \overset{\rightarrow}{A} \left.\right)}{2} = \frac{\overset{\rightarrow}{D} - \overset{\rightarrow}{A}}{2} + \overset{\rightarrow}{B} .\) \(\overset{\rightarrow}{K} = \frac{\overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{C}}{2} .\)Trong hình bình hành \(\overset{\rightarrow}{A} + \overset{\rightarrow}{C} = \overset{\rightarrow}{B} + \overset{\rightarrow}{D}\).
Từ đó dễ kiểm tra rằng ba vectơ trên đều bằng nhau (vì thay vào ta được cùng một giá trị trung bình).
⟹ Ba trung điểm I, J, K trùng n
\(\)1. Chứng minh ΔOAM = ΔOCN
Phân tích:
Xét hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\).
Ta có:
- \(\triangle A B C D\) là hình bình hành ⇒ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên:
\(AC\Rightarrow AO=OC.\) - Hai đường thẳng \(A B \parallel C D\).
Đường thẳng \(M O N\) cắt hai đường song song này tại M và N ⇒
\(\angle O M A = \angle O N C \left(\right. \text{so}\&\text{nbsp};\text{le}\&\text{nbsp};\text{trong} \left.\right) .\) - Vì \(A B \parallel C D\) và \(A O , O C\) cùng nằm trên đường chéo \(A C\), nên
\(\angle M A O = \angle N C O \left(\right. \text{so}\&\text{nbsp};\text{le}\&\text{nbsp};\text{trong} \left.\right) .\)
Kết luận phần này
Từ (1), (2), (3):
Hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\) có:
⟹ ΔOAM = ΔOCN (g.g.g).
2. Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành
Ta cần chứng minh \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song (hoặc bằng nhau).
Từ ΔOAM = ΔOCN, ta suy ra:
\(A M = C N , A O = O C , \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \angle M A O = \angle N C O .\)Ta có \(A B \parallel C D\), và các điểm \(M \in A B , N \in C D\)
⟹ \(M N \parallel A D\).
Bây giờ xét tứ giác \(M B N D\):
- \(M B \parallel N D\) (vì cùng song song với \(A C\)? → cần làm rõ hơn bằng quan hệ song song trong hình bình hành).
Nhưng để rõ ràng hơn, ta dùng hệ thức trung điểm:
Do O là trung điểm của AC, và từ ΔOAM = ΔOCN, ta có:
\(\frac{A M}{C N} = 1 \Rightarrow \text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};đ\text{o}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{AM},\&\text{nbsp};\text{CN}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{nhau}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{n} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{tr} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{song}\&\text{nbsp};\text{song}.\)⟹ Hai tam giác cân bằng qua tâm O tạo nên sự đối xứng tâm qua O.
Vì thế, tứ giác \(M B N D\) có hai cặp cạnh đối song song:
\(M B \parallel N D , B N \parallel M D .\)⟹ MBND là hình bình hành.
a) Chứng minh hai tứ giác AEFD và AECF là hình bình hành
(1) Chứng minh AEFD là hình bình hành
Ta cần chứng minh \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song.
- Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\), nên \(A E = \frac{1}{2} A B\).
- Vì \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên \(D F = \frac{1}{2} C D\).
Mà \(A B \parallel C D\) và \(A B = C D\) (do ABCD là hình bình hành)
⟹ \(A E \parallel D F\) và \(A E = D F\).
Ngoài ra, trong hình bình hành ta có \(A D \parallel B C\).
Tứ giác \(A E F D\) có thêm cạnh \(A D\) song song với \(E F\) vì \(E , F\) nằm lần lượt trên các cạnh song song \(A B , C D\).
⟹ \(E F \parallel A D\).
Vậy \(A E F D\) có hai cặp cạnh đối song song
⟹ AEFD là hình bình hành.
(2) Chứng minh AECF là hình bình hành
Tương tự:
- \(E\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ \(A E = \frac{1}{2} A B\).
- \(F\) là trung điểm của \(C D\) ⇒ \(C F = \frac{1}{2} C D\).
Vì \(A B \parallel C D\) và \(A B = C D\),
⟹ \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).
Ta cũng có \(A F \parallel E C\) vì chúng nối các điểm tương ứng trên hai cạnh song song \(A D , B C\) (trong hình bình hành ABCD).
⟹ \(A E C F\) có hai cặp cạnh đối song song
⟹ AECF là hình bình hành.
b) Chứng minh \(E F = A D\), \(A F = E C\)
Từ phần (a):
- Trong hình bình hành AEFD, ta có \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\).
- Trong hình bình hành AECF, ta có \(A F \parallel E C\) và \(A F = E C\).
⟹ Kết luận:
\(E F = A D , A F = E C .\)Tóm lại:
a) \(A E F D\) và \(A E C F\) là hai hình bình hành.
b) \(E F = A D , \textrm{ }\textrm{ } A F = E C .\)
Nếu là H em sẽ xử lý tình huống này là: báo cho thầy cô biết
Nguyên nhân là : bạn Q được bạn bè rủ rê sử dụng cấn sa để xả stress
Hậu quả là : bạn Q bị công an phát hiện và xử lý theo pháp luật
Trách nhiệm của học sinh việc phòng, chống tệ nạn xã hội là :
- Bổ sung kiến thức cho bản thân
-học hành chăm chỉ