Ta có \(A B C D\) là hình thoi nên \(A C ⊥ B D\) tại trung điểm của mỗi đường nên \(B D\) là trung trực của \(A C\)

Suy ra \(G A = G C , H A = H C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Và \(A C\) là trung trực của \(B D\) suy ra \(A G = A H , C G = C H\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(A G = G C = C H = H A\) nên \(A G C H\) là hình thoi.

a) Tứ giác ����DKMN có �^=�^=�^=90∘D=K=N=90∘ nên là hình chữ nhật.

b) Vì ����DKMN là hình chữ nhật nên ��DF // ��MH

Xét Δ���ΔKFM và Δ���ΔNME có:

     �^=�^=90∘K=N=90∘

     ��=��FM=ME ( giả thiết)

     ���^=�^KMF=E (đồng vị)

Vậy Δ���=Δ���ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra ��=��KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà ��=��MN=DK nên ��=2��DF=2DK và ��=2��MH=2MN.

Do đó ��=��DF=MH.

Vì \(A B = 2 B C\) suy ra \(B C = \frac{A B}{2} = A D\)

\(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\) do đó \(A I = D K = A D\).

Tứ giác \(A I K D\) có \(A I\) // \(D K , A I = D K\) nên \(A I K D\) là hình bình hành.

Lại có \(A D = A I\) nên \(A I K D\) là hình thoi.

Mà \(\hat{I A D} = 90^{\circ}\) do đó \(A I K D\) là hình vuông.

Chứng minh tương tự cho tứ giác \(B I K C\)

b) Vì \(A I K D\) là hình vuông nên \(D I\) là tia phân giác \(\hat{A D K}\) hay \(\hat{I D K} = 45^{\circ}\).

Tương tự \(\hat{I C D} = 45^{\circ}\).

\(\Delta I D C\) cân có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên là tam giác vuông cân.

c) Vì \(A I K D , B C K I\) là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(S I = S K = \frac{D I}{2}\) và \(I R = R K = \frac{I C}{2}\)

Suy ra \(I S K R\) là hình thoi.

Lại có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên \(I S K R\) là hình vuông.

a) \(A B C D\) là hình vuông nên \(A B = B C = C D = D A\)

Mà \(A M = B N = C P = D Q\).

Trừ theo vế ta được \(A B - A M = B C - B N = C D - C P = D A - D Q\)

Suy ra \(M B = N C = P D = Q A\)

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ}\)

\(A Q = N C\) (chứng minh trên)

\(A M = C P\) (giả thiết)

Suy ra \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) (c.g.c)

c) Từ \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) suy ra \(N P = M Q\) (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự câu b ta có \(\Delta Q A M = \Delta P D Q\) và \(\Delta Q A M = \Delta M B N\).

Khi đó \(\Rightarrow M Q = P Q , M N = M Q\) và \(\hat{A M Q} = \hat{D Q P}\).

Mà \(\hat{A M Q} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{D Q P} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\).

Do đó, \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\).

Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\) nên là hình vuông

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà \(A B \bot A C\) 

\(\Rightarrow M I \bot A C \Rightarrow M K \bot A C\)

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông \(\Rightarrow A M \bot B C\) => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

ΔABC vuông cân nên \(\hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} .\)

\(\Delta B H E\) vuông tại \(H\) có \(\hat{B E H} + \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{B E H} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{B} = \hat{B E H} = 45^{\circ}\).

Vậy \(\Delta B E H\) vuông cân tại \(H .\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta C F G\) vuông cân tại \(G\) nên \(G F = G C\) và \(H B = H E\)

Mặt khác \(B H = H G = G C\) suy ra \(E H = H G = G F\) và \(E H\) // \(F G\) (cùng vuông góc với \(B C \left.\right)\)

Tứ giác \(E F G H\) có \(E H\) // \(F G , E H = F G\) nên là hình bình hành.

Hình bình hành \(E F G H\) có một góc vuông \(\hat{H}\) nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật \(E F G H\) có hai cạnh kề bằng nhau \(E H = H G\) nên là hình vuông.

OBAC có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông

Ta có Ax vuông góc với AC và By//AC

Suy ra Ax//By=> góc AMB = 90 độ

Xét tam giác MAQ và QBM có

MQ là cạnh chung

GÓC MQA=GÓC BMQ(2 góc so le trong)

góc AMQ=góc BQM( Ax//QB)

=> tam giác MAQ=tam giác QBM ( g.c.g)

=> góc MBQ = góc MAQ =90 độ ( 2 góc tương ứng )

Xét tứ giác AMBQ có QAM=AMB=MBQ=90 độ

=> tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

b. Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm của AB

=> P là trung điểm của MQ , AB=MQ

=> PQ=1/2 AB (1)

Xét tam giác AIB vuông tại I có IP là đường trung tuyến

=> IP= 1/2 AB (2)

Từ ( 1) và ( 2)=>QP=IP => tam giác PQI cân tại P

Ta có Ax vuông góc với AC và By//AC

Suy ra Ax//By=> góc AMB = 90 độ

Xét tam giác MAQ và QBM có

MQ là cạnh chung

GÓC MQA=GÓC BMQ(2 góc so le trong)

góc AMQ=góc BQM( Ax//QB)

=> tam giác MAQ=tam giác QBM ( g.c.g)

=> góc MBQ = góc MAQ =90 độ ( 2 góc tương ứng )

Xét tứ giác AMBQ có QAM=AMB=MBQ=90 độ

=> tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

b. Do tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm của AB

=> P là trung điểm của MQ , AB=MQ

=> PQ=1/2 AB (1)

Xét tam giác AIB vuông tại I có IP là đường trung tuyến

=> IP= 1/2 AB (2)

Từ ( 1) và ( 2)=>QP=IP => tam giác PQI cân tại P

Xét tam giác ABC có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà BM = 1/2 AC => tam giác ABC vuông tại B

Tứ giác ABCD có góc A=góc D =góc B (=90 độ )

=>tứ giác ABCD là hình chữ nhật