Giải phương trình (1) khi m = 0

Khi \(m = 0\), phương trình (1) trở thành: \(x^{2} - 2 \left(\right. 0 + 1 \left.\right) x - 4 \left(\right. 0 \left.\right) - 8 = 0\) \(x^{2} - 2 x - 8 = 0\)

Để giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử: \(x^{2} - 4 x + 2 x - 8 = 0\) \(x \left(\right. x - 4 \left.\right) + 2 \left(\right. x - 4 \left.\right) = 0\) \(\left(\right. x - 4 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) = 0\)

Vậy, phương trình có hai nghiệm: \(x_{1} = 4\) \(x_{2} = - 2\)

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_{1}^{2} - 4 x_{1} = x_{2}^{2} - 4 x_{2}\)

Phương trình (1) là: \(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x - 4 m - 8 = 0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là \(\Delta > 0\). Ta có: \(\Delta = \left[\right. 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left]\right.^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 4 m - 8 \left.\right)\) \(\Delta = 4 \left(\right. m^{2} + 2 m + 1 \left.\right) + 16 m + 32\) \(\Delta = 4 m^{2} + 8 m + 4 + 16 m + 32\) \(\Delta = 4 m^{2} + 24 m + 36\) \(\Delta = 4 \left(\right. m^{2} + 6 m + 9 \left.\right)\) \(\Delta = 4 \left(\right. m + 3 \left.\right)^{2}\)

Để \(\Delta > 0\), ta cần \(m \neq - 3\).

Theo định lý Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(x_{1} x_{2} = - 4 m - 8\)

Ta có điều kiện: \(x_{1}^{2} - 4 x_{1} = x_{2}^{2} - 4 x_{2}\) \(x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 4 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) = 0\) \(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 4 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) = 0\) \(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} - 4 \left.\right) = 0\)

Vì \(x_{1} \neq x_{2}\) (do hai nghiệm phân biệt), ta có \(x_{1} - x_{2} \neq 0\). Vậy: \(x_{1} + x_{2} - 4 = 0\) \(x_{1} + x_{2} = 4\)

Thay \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\) vào, ta được: \(2 \left(\right. m + 1 \left.\right) = 4\) \(m + 1 = 2\) \(m = 1\)

Vì \(m = 1 \neq - 3\), điều kiện \(\Delta > 0\) được thỏa mãn.

Vậy, \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Kết luận:

a) Khi \(m = 0\), phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 4\) và \(x_{2} = - 2\).

b) \(m = 1\) là giá trị duy nhất của \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_{1}^{2} - 4 x_{1} = x_{2}^{2} - 4 x_{2}\).