1. Tứ giác  AKCH𝐴𝐾𝐶𝐻là tứ giác nội tiếp. 
2. Góc  ∠AKC∠𝐴𝐾𝐶và  ∠AHC∠𝐴𝐻𝐶là các góc vuông. 
3. Bốn điểm  A𝐴, K𝐾, C𝐶, H𝐻cùng nằm trên một đường tròn đường kính  AC𝐴𝐶.
4. Góc  ∠AKH∠𝐴𝐾𝐻bằng góc  ∠ACH∠𝐴𝐶𝐻.
5. Góc  ∠ACH∠𝐴𝐶𝐻bằng góc  ∠CAB∠𝐶𝐴𝐵.
6. Góc  ∠AKH∠𝐴𝐾𝐻bằng góc  ∠CAB∠𝐶𝐴𝐵.
7. Góc  ∠CAK∠𝐶𝐴𝐾bằng góc  ∠CHK∠𝐶𝐻𝐾.
8. Góc  ∠CAK∠𝐶𝐴𝐾bằng góc  ∠BCA∠𝐵𝐶𝐴.
9. Góc  ∠CHK∠𝐶𝐻𝐾bằng góc  ∠BCA∠𝐵𝐶𝐴.
10. Tam giác  ΔCKHΔ𝐶𝐾𝐻và tam giác  ΔBCAΔ𝐵𝐶𝐴có góc  ∠CKH∠𝐶𝐾𝐻bằng góc  ∠BCA∠𝐵𝐶𝐴và góc  ∠CHK∠𝐶𝐻𝐾bằng góc  ∠CAB∠𝐶𝐴𝐵.
11. Hai tam giác  ΔCKHΔ𝐶𝐾𝐻và  ΔBCAΔ𝐵𝐶𝐴đồng dạng theo trường hợp góc-góc. 

1. Tam giác  ΔAKHΔ𝐴𝐾𝐻là tam giác vuông tại  K𝐾.
2. Trong tam giác vuông  ΔAKHΔ𝐴𝐾𝐻, HK=AC⋅sin∠HAK𝐻𝐾=𝐴𝐶⋅sin∠𝐻𝐴𝐾.
3. Góc  ∠HAK∠𝐻𝐴𝐾bằng góc  ∠BAD∠𝐵𝐴𝐷.
4. HK=AC⋅sin∠BAD𝐻𝐾=𝐴𝐶⋅sin∠𝐵𝐴𝐷.

1. Phương trình đã cho được biến đổi thành  (2x+1)2−(3x)2=0(2𝑥+1)2−(3𝑥)2=0.
2. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương, phương trình trở thành  (2x+1−3x)(2x+1+3x)=0(2𝑥+1−3𝑥)(2𝑥+1+3𝑥)=0.
3. Phương trình được rút gọn thành  (−x+1)(5x+1)=0(−𝑥+1)(5𝑥+1)=0.
4. Các nghiệm của phương trình là  x=1𝑥=1và  x=−15𝑥=−15.

1. Từ phương trình thứ hai,  y𝑦được biểu diễn theo  x𝑥là  y=4−2x𝑦=4−2𝑥.
2. Thay biểu thức của  y𝑦vào phương trình thứ nhất, ta có  5x−4(4−2x)=35𝑥−4(4−2𝑥)=3.
3. Phương trình được rút gọn thành  5x−16+8x=35𝑥−16+8𝑥=3.
4. Phương trình được giải để tìm  x𝑥: 13x=1913𝑥=19, suy ra  x=1913𝑥=1913.
5. Giá trị của  y𝑦được tìm bằng cách thay giá trị của  x𝑥vào biểu thức  y=4−2x𝑦=4−2𝑥: y=4−2(1913)=4−3813=52−3813=1413𝑦=4−2(1913)=4−3813=52−3813=1413.

Gọi tốc dộ của ca nô khi nước yên lặng là x (x > 6, km/h).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là x + 6 (km/h).

Ta có x ≤ 40 nên x + 4 ≤ 40 + 6 hay x + 6 ≤ 46.

Gọi s (km) là quãng đường ca nô đi được trong 2 giờ 30 phút (= 2,5 giờ).

Ta có: s = 2,5(x + 6) (km).

Do x + 6 ≤ 46 nên 2,5(x + 6) ≤ 2,5.46 = 115 hay s ≤ 115.

Vậy quãng đường ca nô đi được trong 2 giờ 30 phút không vượt quá 115 km.