Ta có \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\) và \(BQ\) tại \(H\).  Do \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC\), \(AI\perp BC\). Xét tam giác \(ABQ\), ta có \(P\) là trung điểm của \(AB\) và \(H\) là giao điểm của \(MP\) và \(BQ\). Do \(MP\parallel AC\) (\(Q\) là giao điểm của \(MP\) và \(AC\)), và \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(AI\perp BC\). Do đó, \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC\). Xét tam giác \(PIQ\), ta cần chứng minh \(PI=IQ\). Xét tam giác \(ABQ\), \(P\) là trung điểm của \(AB\). Ta có \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC\), \(BQ\) cắt \(AI\) tại \(H\). Xét tam giác \(ABQ\), \(AI\) là đường cao và \(BH\) là đường trung tuyến (do \(P\) nằm trên \(BQ\)). Do đó, \(ABQ\) cân tại \(B\) hoặc \(A\). Xét tam giác \(AIQ\), ta có \(P\) là trung điểm của \(AB\). Xét tam giác \(PIQ\), ta cần chứng minh \(PI=IQ\). Vì \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC\), nên \(AI\perp BC\).

Các bước chứng minh được thực hiện như sau: Bước \(1\): Xác định tính chất của tam giác \(ABC\) \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(BM=\frac{1}{2}AC\). Điều này có nghĩa là \(BM=AM=MC\). Trong tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(BM\) bằng một nửa cạnh \(AC\). Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\). Suy ra, \(\widehat{ABC}=90^{\circ }\). Bước \(2\): Xác định tính chất của tứ giác \(ABCD\) Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông với \(\widehat{A}=90^{\circ }\) và \(\widehat{D}=90^{\circ }\). Tứ giác \(ABCD\) có ba góc vuông là \(\widehat{A}=90^{\circ }\), \(\widehat{D}=90^{\circ }\) và \(\widehat{ABC}=90^{\circ }\). Bước \(3\): Kết luận Một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật. Kết luận cuối cùng Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.

Các bước chứng minh tứ giác \(AHCD\) là hình chữ nhật được thực hiện như sau: \(1\). Tứ giác \(AHCD\) có các đường chéo \(AC\) và \(HD\) cắt nhau tại \(I\). \(2\). Theo giả thiết, \(I\) là trung điểm của \(AC\), suy ra \(IA=IC\). \(3\). Theo giả thiết, \(D\) thuộc tia \(HI\) sao cho \(IH=ID\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(HD\). \(4\). Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(HD\), nên tứ giác \(AHCD\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường). \(5\). Theo giả thiết, \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\), suy ra \(AH\perp HC\). \(6\). Do \(AH\perp HC\), nên \(\angle AHC=90^{\circ }\). \(7\). Hình bình hành \(AHCD\) có một góc vuông (\(\angle AHC=90^{\circ }\)), nên \(AHCD\) là hình chữ nhật. Kết luận Tứ giác \(AHCD\) là hình chữ nhật.