Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. Xem thêm : SGK Toán 8 - Kết nối tri thức Báo lỗi - Góp ý Các bài tập cùng chuyên đề Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32). a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao? Xem lời giải >> Bài 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao? a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành; b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 5 : Cho hình bình hành A B C D , kẻ A H vuông góc với B D tại H và C K vuông góc với B D tại K (Hình 20) a) Chứng minh tứ giác A H C K là hình bình hành b) Gọi I là trung điểm của H K .Chứng minh I B = I D Xem lời giải >> Bài 6 : Cho hình bình hành A B C D ( A B > B C ). Tia phân giác của góc D cắt A B tại E , tia phân giác của góc B cắt C D tại F a) Chứng minh D E // B F b) Tứ giác D E B F là hình gì? Xem lời giải >> Bài 7 : Cho hình bình hành A B C D . Các điểm E , F thuộc đường chéo A C sao cho A E = E F = F C . Gọi M là trung điểm của B F và C D , N là giao điểm của D E và A B . Chứng minh rằng: a) M , N theo thứ tự là trung điểm của C D , A B b) E M F N là hình bình hành Xem lời giải >> Bài 8 : Cho tứ giác ABCD có ˆ D A B = ˆ B C D ; ˆ A B C = ˆ C D A . Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh: a) ˆ A B C + ˆ D A B = 180 o b) ˆ x A D = ˆ A B C ; A D / / B C c) Tứ giác ABCD là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 9 : Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (hình 43). Người ta đo được CD = 100 m và khẳng định AB = 100 m. Em hãy giải thích vì sao AB = 100m. Xem lời giải >> Bài 10 : Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB? Bạn Hùng làm như sau: - Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC; qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC. - Gọi E là giao điểm của d và d’. - Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (hình 45). Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng. Xem lời giải >> Bài 11 : Trong Hình 3.36, Nam di chuyển thước ê ke dọc theo đường thẳng d sao cho cạnh huyền của thước luôn nằm trên d. Khi đỉnh góc 60 ∘ lần lượt ở vị trí điểm C và D . Nối hai điểm C và D , Nam được một đường thẳng song song với d. Em hãy giải thích vì sao? Xem lời giải >> Bài 12 : Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng: a) AMPD là hình bình hành b) AN song song CQ c) MNPQ là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 13 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 14 : Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Vẽ các đường thẳng d vuông góc với AB tại B, d’ vuông góc với AC tại C, d và d’ cắt nhau tại N. Chứng mình rằng: a) Tứ giác BHCN là hình bình hành. b) HN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Xem lời giải >> Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh A N = C M . c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Xem lời giải >> Bài 16 : Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho B M = D N = 1 3 B D . a) Chứng minh Δ A M B = Δ C N D . b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng A M = 2 M I . d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O. Xem lời giải >> Bài 17 : Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 18 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng: a) AN = CM. b) ˆ A M C = ˆ A N C . Xem lời giải >> Bài 19 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 20 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28). Chứng minh rằng: a) ∆ADH = ∆CBK. b) Tứ giác AHCK là hình bình hành. c) AC đi qua trung điểm O của HK. Xem lời giải >> Bài 21 : Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó. Xem lời giải >> Bài 22 : Hãy chọn câu sai. A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Xem lời giải >> Bài 23 : Cho tam giác A B C và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với A B tại B , vuông góc với A C tại C cắt nhau ở D . Biết ˆ B A C = 50 o , số đo góc B D C là: A. 50 o ; B. 100 o ; C. 150 o ; D. 130 o ; Xem lời giải >> Bài 24 : Cho tứ giác A B C D . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của A B và C D ; M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh A F , E C , B F , D E và F N = 1 2 D E ; F N ∥ D E ; E M = 1 2 B F ; E M ∥ B F . Khi đó M N P Q là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. Hình bình hành B. Hình thang vuông C. Hình thang cân D. Hình thang Xem lời giải >> Bài 25 : Chọn câu đúng: A. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau. B. Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. C. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. Xem thêm : SGK Toán 8 - Kết nối tri thức Báo lỗi - Góp ý Các bài tập cùng chuyên đề Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32). a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao? Xem lời giải >> Bài 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao? a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành; b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 5 : Cho hình bình hành A B C D , kẻ A H vuông góc với B D tại H và C K vuông góc với B D tại K (Hình 20) a) Chứng minh tứ giác A H C K là hình bình hành b) Gọi I là trung điểm của H K .Chứng minh I B = I D Xem lời giải >> Bài 6 : Cho hình bình hành A B C D ( A B > B C ). Tia phân giác của góc D cắt A B tại E , tia phân giác của góc B cắt C D tại F a) Chứng minh D E // B F b) Tứ giác D E B F là hình gì? Xem lời giải >> Bài 7 : Cho hình bình hành A B C D . Các điểm E , F thuộc đường chéo A C sao cho A E = E F = F C . Gọi M là trung điểm của B F và C D , N là giao điểm của D E và A B . Chứng minh rằng: a) M , N theo thứ tự là trung điểm của C D , A B b) E M F N là hình bình hành Xem lời giải >> Bài 8 : Cho tứ giác ABCD có ˆ D A B = ˆ B C D ; ˆ A B C = ˆ C D A . Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh: a) ˆ A B C + ˆ D A B = 180 o b) ˆ x A D = ˆ A B C ; A D / / B C c) Tứ giác ABCD là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 9 : Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (hình 43). Người ta đo được CD = 100 m và khẳng định AB = 100 m. Em hãy giải thích vì sao AB = 100m. Xem lời giải >> Bài 10 : Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB? Bạn Hùng làm như sau: - Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC; qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC. - Gọi E là giao điểm của d và d’. - Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (hình 45). Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng. Xem lời giải >> Bài 11 : Trong Hình 3.36, Nam di chuyển thước ê ke dọc theo đường thẳng d sao cho cạnh huyền của thước luôn nằm trên d. Khi đỉnh góc 60 ∘ lần lượt ở vị trí điểm C và D . Nối hai điểm C và D , Nam được một đường thẳng song song với d. Em hãy giải thích vì sao? Xem lời giải >> Bài 12 : Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng: a) AMPD là hình bình hành b) AN song song CQ c) MNPQ là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 13 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 14 : Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Vẽ các đường thẳng d vuông góc với AB tại B, d’ vuông góc với AC tại C, d và d’ cắt nhau tại N. Chứng mình rằng: a) Tứ giác BHCN là hình bình hành. b) HN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Xem lời giải >> Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh A N = C M . c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Xem lời giải >> Bài 16 : Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho B M = D N = 1 3 B D . a) Chứng minh Δ A M B = Δ C N D . b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng A M = 2 M I . d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O. Xem lời giải >> Bài 17 : Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 18 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng: a) AN = CM. b) ˆ A M C = ˆ A N C . Xem lời giải >> Bài 19 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 20 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28). Chứng minh rằng: a) ∆ADH = ∆CBK. b) Tứ giác AHCK là hình bình hành. c) AC đi qua trung điểm O của HK. Xem lời giải >> Bài 21 : Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó. Xem lời giải >> Bài 22 : Hãy chọn câu sai. A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Xem lời giải >> Bài 23 : Cho tam giác A B C và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với A B tại B , vuông góc với A C tại C cắt nhau ở D . Biết ˆ B A C = 50 o , số đo góc B D C là: A. 50 o ; B. 100 o ; C. 150 o ; D. 130 o ; Xem lời giải >> Bài 24 : Cho tứ giác A B C D . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của A B và C D ; M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh A F , E C , B F , D E và F N = 1 2 D E ; F N ∥ D E ; E M = 1 2 B F ; E M ∥ B F . Khi đó M N P Q là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. Hình bình hành B. Hình thang vuông C. Hình thang cân D. Hình thang Xem lời giải >> Bài 25 : Chọn câu đúng: A. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau. B. Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. C. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. Xem thêm : SGK Toán 8 - Kết nối tri thức Báo lỗi - Góp ý Các bài tập cùng chuyên đề Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32). a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao? Xem lời giải >> Bài 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao? a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành; b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 5 : Cho hình bình hành A B C D , kẻ A H vuông góc với B D tại H và C K vuông góc với B D tại K (Hình 20) a) Chứng minh tứ giác A H C K là hình bình hành b) Gọi I là trung điểm của H K .Chứng minh I B = I D Xem lời giải >> Bài 6 : Cho hình bình hành A B C D ( A B > B C ). Tia phân giác của góc D cắt A B tại E , tia phân giác của góc B cắt C D tại F a) Chứng minh D E // B F b) Tứ giác D E B F là hình gì? Xem lời giải >> Bài 7 : Cho hình bình hành A B C D . Các điểm E , F thuộc đường chéo A C sao cho A E = E F = F C . Gọi M là trung điểm của B F và C D , N là giao điểm của D E và A B . Chứng minh rằng: a) M , N theo thứ tự là trung điểm của C D , A B b) E M F N là hình bình hành Xem lời giải >> Bài 8 : Cho tứ giác ABCD có ˆ D A B = ˆ B C D ; ˆ A B C = ˆ C D A . Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh: a) ˆ A B C + ˆ D A B = 180 o b) ˆ x A D = ˆ A B C ; A D / / B C c) Tứ giác ABCD là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 9 : Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (hình 43). Người ta đo được CD = 100 m và khẳng định AB = 100 m. Em hãy giải thích vì sao AB = 100m. Xem lời giải >> Bài 10 : Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB? Bạn Hùng làm như sau: - Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC; qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC. - Gọi E là giao điểm của d và d’. - Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (hình 45). Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng. Xem lời giải >> Bài 11 : Trong Hình 3.36, Nam di chuyển thước ê ke dọc theo đường thẳng d sao cho cạnh huyền của thước luôn nằm trên d. Khi đỉnh góc 60 ∘ lần lượt ở vị trí điểm C và D . Nối hai điểm C và D , Nam được một đường thẳng song song với d. Em hãy giải thích vì sao? Xem lời giải >> Bài 12 : Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng: a) AMPD là hình bình hành b) AN song song CQ c) MNPQ là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 13 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 14 : Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Vẽ các đường thẳng d vuông góc với AB tại B, d’ vuông góc với AC tại C, d và d’ cắt nhau tại N. Chứng mình rằng: a) Tứ giác BHCN là hình bình hành. b) HN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Xem lời giải >> Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh A N = C M . c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Xem lời giải >> Bài 16 : Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho B M = D N = 1 3 B D . a) Chứng minh Δ A M B = Δ C N D . b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng A M = 2 M I . d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O. Xem lời giải >> Bài 17 : Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 18 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng: a) AN = CM. b) ˆ A M C = ˆ A N C . Xem lời giải >> Bài 19 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 20 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28). Chứng minh rằng: a) ∆ADH = ∆CBK. b) Tứ giác AHCK là hình bình hành. c) AC đi qua trung điểm O của HK. Xem lời giải >> Bài 21 : Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó. Xem lời giải >> Bài 22 : Hãy chọn câu sai. A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Xem lời giải >> Bài 23 : Cho tam giác A B C và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với A B tại B , vuông góc với A C tại C cắt nhau ở D . Biết ˆ B A C = 50 o , số đo góc B D C là: A. 50 o ; B. 100 o ; C. 150 o ; D. 130 o ; Xem lời giải >> Bài 24 : Cho tứ giác A B C D . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của A B và C D ; M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh A F , E C , B F , D E và F N = 1 2 D E ; F N ∥ D E ; E M = 1 2 B F ; E M ∥ B F . Khi đó M N P Q là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. Hình bình hành B. Hình thang vuông C. Hình thang cân D. Hình thang Xem lời giải >> Bài 25 : Chọn câu đúng: A. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau. B. Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. C. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. Xem thêm : SGK Toán 8 - Kết nối tri thức Báo lỗi - Góp ý Các bài tập cùng chuyên đề Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32). a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao? Xem lời giải >> Bài 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao? a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành; b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 5 : Cho hình bình hành A B C D , kẻ A H vuông góc với B D tại H và C K vuông góc với B D tại K (Hình 20) a) Chứng minh tứ giác A H C K là hình bình hành b) Gọi I là trung điểm của H K .Chứng minh I B = I D Xem lời giải >> Bài 6 : Cho hình bình hành A B C D ( A B > B C ). Tia phân giác của góc D cắt A B tại E , tia phân giác của góc B cắt C D tại F a) Chứng minh D E // B F b) Tứ giác D E B F là hình gì? Xem lời giải >> Bài 7 : Cho hình bình hành A B C D . Các điểm E , F thuộc đường chéo A C sao cho A E = E F = F C . Gọi M là trung điểm của B F và C D , N là giao điểm của D E và A B . Chứng minh rằng: a) M , N theo thứ tự là trung điểm của C D , A B b) E M F N là hình bình hành Xem lời giải >> Bài 8 : Cho tứ giác ABCD có ˆ D A B = ˆ B C D ; ˆ A B C = ˆ C D A . Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh: a) ˆ A B C + ˆ D A B = 180 o b) ˆ x A D = ˆ A B C ; A D / / B C c) Tứ giác ABCD là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 9 : Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (hình 43). Người ta đo được CD = 100 m và khẳng định AB = 100 m. Em hãy giải thích vì sao AB = 100m. Xem lời giải >> Bài 10 : Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB? Bạn Hùng làm như sau: - Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC; qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC. - Gọi E là giao điểm của d và d’. - Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (hình 45). Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng. Xem lời giải >> Bài 11 : Trong Hình 3.36, Nam di chuyển thước ê ke dọc theo đường thẳng d sao cho cạnh huyền của thước luôn nằm trên d. Khi đỉnh góc 60 ∘ lần lượt ở vị trí điểm C và D . Nối hai điểm C và D , Nam được một đường thẳng song song với d. Em hãy giải thích vì sao? Xem lời giải >> Bài 12 : Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng: a) AMPD là hình bình hành b) AN song song CQ c) MNPQ là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 13 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 14 : Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Vẽ các đường thẳng d vuông góc với AB tại B, d’ vuông góc với AC tại C, d và d’ cắt nhau tại N. Chứng mình rằng: a) Tứ giác BHCN là hình bình hành. b) HN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Xem lời giải >> Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh A N = C M . c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Xem lời giải >> Bài 16 : Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho B M = D N = 1 3 B D . a) Chứng minh Δ A M B = Δ C N D . b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng A M = 2 M I . d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O. Xem lời giải >> Bài 17 : Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 18 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng: a) AN = CM. b) ˆ A M C = ˆ A N C . Xem lời giải >> Bài 19 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 20 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28). Chứng minh rằng: a) ∆ADH = ∆CBK. b) Tứ giác AHCK là hình bình hành. c) AC đi qua trung điểm O của HK. Xem lời giải >> Bài 21 : Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó. Xem lời giải >> Bài 22 : Hãy chọn câu sai. A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Xem lời giải >> Bài 23 : Cho tam giác A B C và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với A B tại B , vuông góc với A C tại C cắt nhau ở D . Biết ˆ B A C = 50 o , số đo góc B D C là: A. 50 o ; B. 100 o ; C. 150 o ; D. 130 o ; Xem lời giải >> Bài 24 : Cho tứ giác A B C D . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của A B và C D ; M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh A F , E C , B F , D E và F N = 1 2 D E ; F N ∥ D E ; E M = 1 2 B F ; E M ∥ B F . Khi đó M N P Q là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. Hình bình hành B. Hình thang vuông C. Hình thang cân D. Hình thang Xem lời giải >> Bài 25 : Chọn câu đúng: A. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau. B. Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. C. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. Xem thêm : SGK Toán 8 - Kết nối tri thức Báo lỗi - Góp ý Các bài tập cùng chuyên đề Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (H.3.32). a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác cân, bằng nhau. b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao? Xem lời giải >> Bài 2 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai? Vì sao? a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành; b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 4 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành; b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 5 : Cho hình bình hành A B C D , kẻ A H vuông góc với B D tại H và C K vuông góc với B D tại K (Hình 20) a) Chứng minh tứ giác A H C K là hình bình hành b) Gọi I là trung điểm của H K .Chứng minh I B = I D Xem lời giải >> Bài 6 : Cho hình bình hành A B C D ( A B > B C ). Tia phân giác của góc D cắt A B tại E , tia phân giác của góc B cắt C D tại F a) Chứng minh D E // B F b) Tứ giác D E B F là hình gì? Xem lời giải >> Bài 7 : Cho hình bình hành A B C D . Các điểm E , F thuộc đường chéo A C sao cho A E = E F = F C . Gọi M là trung điểm của B F và C D , N là giao điểm của D E và A B . Chứng minh rằng: a) M , N theo thứ tự là trung điểm của C D , A B b) E M F N là hình bình hành Xem lời giải >> Bài 8 : Cho tứ giác ABCD có ˆ D A B = ˆ B C D ; ˆ A B C = ˆ C D A . Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh: a) ˆ A B C + ˆ D A B = 180 o b) ˆ x A D = ˆ A B C ; A D / / B C c) Tứ giác ABCD là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 9 : Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một tòa nhà mà không thể đo trực tiếp được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (hình 43). Người ta đo được CD = 100 m và khẳng định AB = 100 m. Em hãy giải thích vì sao AB = 100m. Xem lời giải >> Bài 10 : Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phái góc (Hình 44). Bạn Hoa đó bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB? Bạn Hùng làm như sau: - Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC; qua điểm B kẻ đường thẳng d’ song song với AC. - Gọi E là giao điểm của d và d’. - Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (hình 45). Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng. Xem lời giải >> Bài 11 : Trong Hình 3.36, Nam di chuyển thước ê ke dọc theo đường thẳng d sao cho cạnh huyền của thước luôn nằm trên d. Khi đỉnh góc 60 ∘ lần lượt ở vị trí điểm C và D . Nối hai điểm C và D , Nam được một đường thẳng song song với d. Em hãy giải thích vì sao? Xem lời giải >> Bài 12 : Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng: a) AMPD là hình bình hành b) AN song song CQ c) MNPQ là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 13 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b) EF = AD, AF = EC. Xem lời giải >> Bài 14 : Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Vẽ các đường thẳng d vuông góc với AB tại B, d’ vuông góc với AC tại C, d và d’ cắt nhau tại N. Chứng mình rằng: a) Tứ giác BHCN là hình bình hành. b) HN đi qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Xem lời giải >> Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và C đến BD. a) Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành. b) Gọi M là giao điểm của AK và BC, N là giao điểm của CH và AD. Chứng minh A N = C M . c) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Xem lời giải >> Bài 16 : Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho B M = D N = 1 3 B D . a) Chứng minh Δ A M B = Δ C N D . b) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành. c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng A M = 2 M I . d) Gọi K là giao điểm của CN và AD. Chứng minh I và K đối xứng với nhau qua O. Xem lời giải >> Bài 17 : Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OB và OD. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành. Xem lời giải >> Bài 18 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng: a) AN = CM. b) ˆ A M C = ˆ A N C . Xem lời giải >> Bài 19 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng: a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau. Xem lời giải >> Bài 20 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ đỉnh A, C xuống BD (H.3.28). Chứng minh rằng: a) ∆ADH = ∆CBK. b) Tứ giác AHCK là hình bình hành. c) AC đi qua trung điểm O của HK. Xem lời giải >> Bài 21 : Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó. Xem lời giải >> Bài 22 : Hãy chọn câu sai. A. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. B. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau. D. Hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song. Xem lời giải >> Bài 23 : Cho tam giác A B C và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với A B tại B , vuông góc với A C tại C cắt nhau ở D . Biết ˆ B A C = 50 o , số đo góc B D C là: A. 50 o ; B. 100 o ; C. 150 o ; D. 130 o ; Xem lời giải >> Bài 24 : Cho tứ giác A B C D . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của A B và C D ; M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh A F , E C , B F , D E và F N = 1 2 D E ; F N ∥ D E ; E M = 1 2 B F ; E M ∥ B F . Khi đó M N P Q là hình gì? Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. Hình bình hành B. Hình thang vuông C. Hình thang cân D. Hình thang Xem lời giải >> Bài 25 : Chọn câu đúng: A. Hình bình hành là tứ giác có các góc bằng nhau. B. Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song. C. Hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song.

D. Hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau.

--- ### Giả thiết: - ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD, AD // BC và AB = CD, AD = BC. - E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. --- ## 🧩Phần a: Chứng minh AEFD và AECF là hình bình hành ### 1. **Tứ giác AEFD là hình bình hành** Xét các đoạn thẳng: - E là trung điểm AB ⇒ **AE = EB = ½ AB** - F là trung điểm CD ⇒ **FD = FC = ½ CD** - Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) ⇒ **AE = FD** - AB // CD ⇒ AE // FD ⟹ AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau). --- ### 2. **Tứ giác AECF là hình bình hành** Xét các đoạn thẳng: - AE = ½ AB, CF = ½ CD ⇒ AE = CF - AB // CD ⇒ AE // CF ⟹ AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau). --- ## Phần b: Chứng minh EF = AD và AF = EC ### 1. **EF = AD** - E là trung điểm AB, F là trung điểm CD - AB // CD ⇒ EF nối trung điểm hai cạnh đối song song ⇒ **EF // AD** - Tam giác ABD có E là trung điểm AB, F là trung điểm CD ⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABD ⟹ **EF = ½ AD** Nhưng AD = BC và EF = ½ AB + ½ CD = ½(AB + CD) = ½(2AD) = AD ⟹ **EF = AD** --- ### 2. **AF = EC** - AF nối từ A đến trung điểm F của CD - EC nối từ E (trung điểm AB) đến C - Xét tam giác ABC: - E là trung điểm AB - F là trung điểm CD - A, B, C, D tạo thành hình bình hành ⇒ tam giác ABC và tam giác DAB có các cạnh tương ứng bằng nhau ⟹ AF = EC (do đối xứng qua đường chéo hoặc bằng nhau do tính chất trung điểm và hình bình hành) --- **Kết luận:** - AEFD và AECF là hình bình hành. - EF = AD và AF = EC.

### **Giải bài toán**

#### **a) Chứng minh tam giác \( \triangle CBD \) cân**

- Ta có tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), và điểm \( D \) được lấy trên tia đối của tia \( AB \) sao cho \( AD = AB \).

- Do \( AD = AB \), ta suy ra \( \triangle ABD \) cân tại \( A \).

- Xét tam giác \( \triangle CBD \), có:

- Hai cạnh \( AB \) và \( AD \) bằng nhau.

- Hai góc \( \angle ABC \) và \( \angle ADC \) bằng nhau (cùng phụ góc \( \angle BAC \)).

⇒ **Tam giác \( \triangle CBD \) cân tại \( B \)**.

---

#### **b) Chứng minh \( BC = DE \)**

- Gọi \( M \) là trung điểm của \( CD \).

- Đường thẳng qua \( D \), song song với \( BC \), cắt \( BM \) tại \( E \).

- Do \( D \) và \( E \) nằm trên đường song song với \( BC \), ta có \( DE = BC \) (hai đoạn thẳng tương ứng trong các tam giác đồng dạng).

⇒ **Kết luận: \( BC = DE \)**.

Tổng số học sinh của cả ba lớp là:

Mỗi học sinh trồng được số cây trung bình là:

Vậy số cây mỗi lớp trồng được là:

• Lớp 7A: 18×2=3618 \times 2 = 36 cây
• Lớp 7B: 20×2=4020 \times 2 = 40 cây
• Lớp 7C: 21×2=4221 \times 2 = 42 cây

Ba lớp đã cùng nhau trồng được 118 cây,

**Giải ngắn nhất:**

- **Tính \( H(x) \)**:

\[

H(x) = A(x) + B(x) = 4x^2 + 1

\]

- **Chứng minh \( H(x) \) vô nghiệm:**

\[

4x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{1}{4}

\]

Không có số thực nào có bình phương âm → **vô nghiệm**.