Ok, ta cùng giải bài toán này nhé:

Đề: Tìm các số nguyên tố \(p , q\) sao cho cả \(p + q\) và \(p q + 11\) đều là số nguyên tố.

Bước 1. Giả sử \(p \leq q\).

• \(p + q\) phải là số nguyên tố.
  Nếu \(p , q > 2\) thì \(p + q\) chẵn (tổng của hai số lẻ), mà số nguyên tố chẵn duy nhất là \(2\).
  → Khi đó \(p + q = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } p = q = 1\), không phải số nguyên tố.
  ⟹ Trường hợp này loại.

👉 Vậy phải có một trong hai số bằng 2.

Bước 2. Trường hợp \(p = 2\).

Khi đó:

\(p + q = 2 + q \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)

Rõ ràng với mọi \(q\) nguyên tố, \(2 + q\) sẽ là số nguyên tố (trừ khi nó ra số chẵn > 2).

Xét điều kiện còn lại:

\(p q + 11 = 2 q + 11 \text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} .\)

• Nếu \(q = 2\): \(p + q = 4\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, và \(2 \cdot 3 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(2,3) thỏa mãn.
• Nếu \(q = 5\): \(p + q = 7\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 5 + 11 = 21\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 7\): \(p + q = 9\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 11\): \(p + q = 13\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 11 + 11 = 33\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 13\): \(p + q = 15\) không nguyên tố ⟹ loại.
• Nếu \(q = 17\): \(p + q = 19\) nguyên tố, nhưng \(2 \cdot 17 + 11 = 45\) không nguyên tố ⟹ loại.

Thử thêm vài giá trị lớn hơn: \(2 q + 11\) thường ra số chẵn hoặc hợp số, rất khó nguyên tố.

Bước 3. Trường hợp \(q = 2\).

Hoàn toàn tương tự (do đối xứng \(p , q\)).

• Nếu \(p = 3\): \(p + q = 5\) nguyên tố, \(3 \cdot 2 + 11 = 17\) nguyên tố ⟹ (p,q)=(3,2) cũng thỏa.

✅ Kết luận:

Các nghiệm duy nhất là:

\(\left(\right. p , q \left.\right) = \left(\right. 2 , 3 \left.\right) \text{ho}ặ\text{c} \left(\right. 3 , 2 \left.\right) .\)

À, đây là một câu đố toán học kinh điển đó bạn 😄.

Bạn để mình phân tích rõ nhé:

• Ban đầu bạn nợ 50k bố và 50k mẹ → tổng cộng nợ 100k.
• Bạn mua áo 97k → còn 3k tiền thừa.
• Bạn trả lại mẹ 1k và bố 1k → tức là bạn đã trả 2k, còn lại 1k giữ trong tay.

👉 Lúc này:

• Bạn còn nợ mỗi người 49k → tổng cộng nợ 98k.
• Nhưng bạn đang giữ 1k trong túi.

Vậy tổng giá trị nợ - tiền giữ = 98k + 1k = 99k, khớp với số tiền 97k mua áo + 2k đã trả lại bố mẹ = 99k.

Điểm gây nhầm lẫn:
Bạn cộng 49 + 49 + 1, nhưng thật ra số 1k bạn giữ không phải để cộng thêm vào nợ (98k), mà nó đã nằm trong số tiền đó rồi. Đúng phải là:

\(49 + 49 = 98 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} 98 = 97 \left(\right. \overset{ˊ}{\text{a}} \text{o} \left.\right) + 1 \left(\right. \text{ti} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{gi}ữ \left.\right)\)

✅ Không hề thiếu 1k nào cả, chỉ là cách cộng sai làm người ta thấy “biến mất” thôi.

Nếu có 100 cái bánh chia đều cho 2 người thì:

\(100 : 2 = 50\)

👉 Mỗi người sẽ có 50 cái bánh. 🍰🍰

Ta có:

\(A = \frac{12^{3} \cdot 121^{2} \cdot 5 - 22^{4} \cdot 3^{3}}{75^{2} \cdot 11^{4} - 30^{2} \cdot 11^{5}}\)

Bước 1. Phân tích thừa số

• \(12^{3} = \left(\right. 2^{2} \cdot 3 \left.\right)^{3} = 2^{6} \cdot 3^{3}\).
• \(121 = 11^{2} \Rightarrow 121^{2} = \left(\right. 11^{2} \left.\right)^{2} = 11^{4}\).
• \(22 = 2 \cdot 11 \Rightarrow 22^{4} = \left(\right. 2 \cdot 11 \left.\right)^{4} = 2^{4} \cdot 11^{4}\).
• \(75 = 3 \cdot 5^{2} \Rightarrow 75^{2} = \left(\right. 3 \cdot 5^{2} \left.\right)^{2} = 3^{2} \cdot 5^{4}\).
• \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \Rightarrow 30^{2} = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}\).

Bước 2. Viết lại tử số

\(12^{3} \cdot 121^{2} \cdot 5 = \left(\right. 2^{6} \cdot 3^{3} \left.\right) \left(\right. 11^{4} \left.\right) \left(\right. 5 \left.\right) = 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 11^{4}\) \(22^{4} \cdot 3^{3} = \left(\right. 2^{4} \cdot 11^{4} \left.\right) \left(\right. 3^{3} \left.\right) = 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11^{4}\) \(\text{T}ử = 2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 11^{4} - 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11^{4}\) \(= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11^{4} \left(\right. 2^{2} \cdot 5 - 1 \left.\right)\) \(= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11^{4} \left(\right. 20 - 1 \left.\right) = 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11^{4} \cdot 19\)

Bước 3. Viết lại mẫu số

\(75^{2} \cdot 11^{4} = \left(\right. 3^{2} \cdot 5^{4} \left.\right) \left(\right. 11^{4} \left.\right) = 3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 11^{4}\) \(30^{2} \cdot 11^{5} = \left(\right. 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \left.\right) \left(\right. 11^{5} \left.\right) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{5}\) \(\text{M} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u} = 3^{2} \cdot 5^{4} \cdot 11^{4} - 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{5}\) \(= 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{4} \left(\right. 5^{2} - 2^{2} \cdot 11 \left.\right)\) \(= 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{4} \left(\right. 25 - 44 \left.\right) = 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{4} \left(\right. - 19 \left.\right)\)

Bước 4. Rút gọn phân số

\(A = \frac{2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 11^{4} \cdot 19}{3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11^{4} \cdot \left(\right. - 19 \left.\right)}\)

Khử \(11^{4}\) và \(19\):

\(A = \frac{2^{4} \cdot 3^{3}}{3^{2} \cdot 5^{2} \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}\) \(= \frac{2^{4} \cdot 3}{5^{2} \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)}\) \(= \frac{48}{- 25} = - \frac{48}{25}\)

✅ Kết quả:

\(A = - \frac{48}{25}\)

Bước 1: Tính giá tiền của chiếc áo sau khi giảm giá

• Giá niêm yết của áo: 260,000 đồng
• Giảm giá 20% cho sản phẩm thứ nhất: 260,000 * 20% = 52,000 đồng
• Giá áo sau khi giảm: 260,000 - 52,000 = 208,000 đồng

Bước 2: Tính giá tiền của hộp kẹo sau khi giảm giá

• Giá niêm yết của kẹo: 200,000 đồng
• Giảm giá 20% cho sản phẩm thứ nhất: 200,000 * 20% = 40,000 đồng
• Giá kẹo sau khi giảm: 200,000 - 40,000 = 160,000 đồng

Bước 3: Tính tổng số tiền sau khi giảm giá thêm 5%

• Tổng giá tiền trước khi giảm thêm: 208,000 + 160,000 = 368,000 đồng
• Giảm thêm 5% cho hóa đơn từ hai sản phẩm: 368,000 * 5% = 18,400 đồng
• Tổng số tiền Lan phải trả: 368,000 - 18,400 = 349,600 đồng

Kết quả:

Lan mua cả hai sản phẩm phải trả tất cả 349,600 đồng.

a) Tính chiều cao \(h\) của con dốc

• Phân tích hình vẽ:
• • Gọi C là điểm trên đường thẳng nằm ngang đi qua A sao cho BC vuông góc với AC.
  • Gọi D là điểm trên đường thẳng nằm ngang đi qua B sao cho AD vuông góc với BD.
  • Khi đó, \(h = A D = B C\) là chiều cao của con dốc.
• Sử dụng hình học và lượng giác:
• • Trong tam giác ABC, ta có: \(B C = A B \cdot sin ⁡ \left(\right. \angle B A C \left.\right) = 762 \cdot sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)\)
  • Trong tam giác ABD, ta có: \(A D = A B \cdot sin ⁡ \left(\right. \angle A B D \left.\right) = 762 \cdot sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)\)
  • Do đó, \(h = B C = A D\). Tuy nhiên, cách tính này không đúng vì \(\angle B A C\) và \(\angle A B D\) không phải là góc giữa AB và đường thẳng nằm ngang.
  • Ta cần tìm chiều dài các đoạn lên dốc và xuống dốc. Gọi \(x\) là chiều dài đoạn lên dốc (từ A đến điểm cao nhất), và \(y\) là chiều dài đoạn xuống dốc (từ điểm cao nhất đến B). Ta có \(x + y = 762\).
  • Gọi \(h\) là chiều cao của con dốc. Ta có:
  • • \(h = x \cdot sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)\)
    • \(h = y \cdot sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)\)
  • Từ đó, \(x = \frac{h}{sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)}\) và \(y = \frac{h}{sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)}\).
  • Thay vào \(x + y = 762\), ta được:\(\frac{h}{sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)} + \frac{h}{sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)} = 762\)
  • Giải phương trình này để tìm \(h\):\(h \left(\right. \frac{1}{sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)} + \frac{1}{sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)} \left.\right) = 762\)\(h = \frac{762}{\frac{1}{sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)} + \frac{1}{sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)}}\)
  • Tính toán giá trị:
  • • \(sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right) \approx 0.069756\)
    • \(sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right) \approx 0.104528\)\(h \approx \frac{762}{\frac{1}{0.069756} + \frac{1}{0.104528}} \approx \frac{762}{14.3356 + 9.5668} \approx \frac{762}{23.9024} \approx 31.88 \&\text{nbsp};\text{m}\)
  • Vậy chiều cao \(h\) của con dốc là khoảng 31.88 m.

b) Tính thời gian bạn An đến trường

• Tính chiều dài các đoạn lên dốc và xuống dốc:
• • \(x = \frac{h}{sin ⁡ \left(\right. 4^{\circ} \left.\right)} \approx \frac{31.88}{0.069756} \approx 457.02 \&\text{nbsp};\text{m}\)
  • \(y = \frac{h}{sin ⁡ \left(\right. 6^{\circ} \left.\right)} \approx \frac{31.88}{0.104528} \approx 304.97 \&\text{nbsp};\text{m}\)
• Tính thời gian đi lên dốc và xuống dốc:
• • Tốc độ lên dốc là 4 km/h = \(\frac{4000}{60}\) m/phút \(\approx 66.67\) m/phút.
  • Thời gian lên dốc: \(t_{1} = \frac{x}{v_{1}} \approx \frac{457.02}{66.67} \approx 6.86\) phút.
  • Tốc độ xuống dốc là 6 km/h = \(\frac{6000}{60}\) m/phút \(= 100\) m/phút.
  • Thời gian xuống dốc: \(t_{2} = \frac{y}{v_{2}} \approx \frac{304.97}{100} \approx 3.05\) phút.
• Tổng thời gian:
• • Tổng thời gian đi từ nhà đến trường: \(t = t_{1} + t_{2} \approx 6.86 + 3.05 \approx 9.91\) phút.
• Thời điểm đến trường:
• • Bạn An xuất phát lúc 6 giờ sáng.
  • Thời gian đến trường là khoảng 6 giờ + 9.91 phút \(\approx\) 6 giờ 10 phút (làm tròn).

Kết quả:

a) Chiều cao của con dốc \(h \approx 31.88\) m. b) Bạn An đến trường lúc khoảng 6 giờ 10 phút.

0,5

Bước 1: Tìm mẫu số chung

Các mẫu số hiện tại là 5, 7, 6 và 2. Mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của các số này là 210.

Bước 2: Quy đồng mẫu số

Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số của từng phân số về 210:

• \(\frac{3}{5} = \frac{3 \times 42}{5 \times 42} = \frac{126}{210}\)
• \(\frac{2}{7} = \frac{2 \times 30}{7 \times 30} = \frac{60}{210}\)
• \(\frac{4}{6} = \frac{4 \times 35}{6 \times 35} = \frac{140}{210}\)
• \(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 105}{2 \times 105} = \frac{105}{210}\)

Bước 3: Cộng các phân số

\(\frac{126}{210} + \frac{60}{210} + \frac{140}{210} + \frac{105}{210} = \frac{126 + 60 + 140 + 105}{210} = \frac{431}{210}\)

Bước 4: Rút gọn (nếu có thể)

Phân số \(\frac{431}{210}\) không thể rút gọn thêm.

Kết quả

Vậy, \(\frac{3}{5} + \frac{2}{7} + \frac{4}{6} + \frac{1}{2} = \frac{431}{210}\)

VÌ 15 H/S =1/2 30 H/S

NÊN THỜI GIAN HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC CỦA 15 H/S BẰNG 90 NHÂN 2 VÌ NĂNG XUẤT NĂNG XUẤT MỖI H/S ĐỀU NHƯ NHAU . VÌ VẬY 15 H/S MẤT 180 PHÚT

1,7 M