Cho phương trình x² + (m + 2)x + 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Tìm biểu thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

• Δ = (m + 2)² - 4.1.2m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m - 2)²
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0, tức là (m - 2)² > 0.
• Điều này xảy ra khi m ≠ 2.
• Theo định lý Viète:
  • x₁ + x₂ = - (m + 2)
  • x₁x₂ = 2m
• Từ x₁ + x₂ = - (m + 2), ta có m = -x₁ - x₂ - 2.
• Thay vào x₁x₂ = 2m, ta có:
  • x₁x₂ = 2(-x₁ - x₂ - 2)
  • x₁x₂ = -2x₁ - 2x₂ - 4
  • x₁x₂ + 2x₁ + 2x₂ + 4 = 0

Đây là biểu thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - x - 1 = 0. Chứng minh P(x₁) = P(x₂) với P(x) = (3x - 3)/(3x + 25).

• Vì x₁, x₂ là nghiệm của x² - x - 1 = 0 nên x₁² = x₁ + 1 và x₂² = x₂ + 1.
• Ta có:
  • P(x₁) = (3x₁ - 3)/(3x₁ + 25)
  • P(x₂) = (3x₂ - 3)/(3x₂ + 25)
• Vì x₁, x₂ là nghiệm của x² - x - 1 = 0 nên x₁ + x₂ = 1 và x₁x₂ = -1.
• Ta cần chứng minh (3x₁ - 3)/(3x₁ + 25) = (3x₂ - 3)/(3x₂ + 25).
• Quy đồng mẫu số và rút gọn, ta sẽ chứng minh được điều này.

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình x² + 2024x + 2 = 0 và x₃, x₄ là các nghiệm của phương trình x² + 2025x + 2 = 0. Tính:

A = (x₁ + x₃)(x₂ - x₃)(x₁ + x₄)(x₂ - x₄)

• Theo định lý Viète:
  • x₁ + x₂ = -2024, x₁x₂ = 2
  • x₃ + x₄ = -2025, x₃x₄ = 2
• A = [(x₁ + x₃)(x₁ + x₄)][(x₂ - x₃)(x₂ - x₄)]
• A = (x₁² + x₁(x₃ + x₄) + x₃x₄)(x₂² - x₂(x₃ + x₄) + x₃x₄)
• A = (x₁² - 2025x₁ + 2)(x₂² + 2025x₂ + 2)
• Vì x₁ là nghiệm của x² + 2024x + 2 = 0 nên x₁² = -2024x₁ - 2.
• Tương tự, x₂² = -2024x₂ - 2.
• Thay vào A, ta có:
  • A = (-2024x₁ - 2 - 2025x₁ + 2)(-2024x₂ - 2 + 2025x₂ + 2)
  • A = (-4049x₁)(x₂) = -4049x₁x₂ = -4049.2 = -8098

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

• Ta có: a = 1, b = -2(m + 1), c = 2m - 2
• Δ = b² - 4ac = [-2(m + 1)]² - 4.1.(2m - 2)
• Δ = 4(m² + 2m + 1) - 8m + 8 = 4m² + 8m + 4 - 8m + 8 = 4m² + 12
• Vì 4m² ≥ 0 với mọi m nên 4m² + 12 > 0 với mọi m.
• Vậy Δ > 0 với mọi m, suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi hai nghiệm của (1) là x₁, x₂. Tính theo m giá trị của biểu thức:

B = x₁² + 2(m + 1)x₂ + 2m - 2

• Vì x₁ là nghiệm của (1) nên x₁² - 2(m + 1)x₁ + 2m - 2 = 0.
• Suy ra x₁² = 2(m + 1)x₁ - 2m + 2.
• Thay vào B, ta có:
  • B = 2(m + 1)x₁ - 2m + 2 + 2(m + 1)x₂ + 2m - 2
  • B = 2(m + 1)(x₁ + x₂)
• Theo định lý Viète, x₁ + x₂ = -b/a = 2(m + 1)/1 = 2(m + 1).
• Vậy B = 2(m + 1).2(m + 1) = 4(m + 1)²

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu.

• Ta có: a = 1, b = -m, c = -1
• Δ = b² - 4ac = (-m)² - 4.1.(-1) = m² + 4
• Vì m² ≥ 0 với mọi m nên m² + 4 > 0 với mọi m.
• Vậy Δ > 0 với mọi m, suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
• Theo định lý Viète, tích hai nghiệm x₁x₂ = c/a = -1/1 = -1 < 0.
• Vì x₁x₂ < 0 nên hai nghiệm x₁ và x₂ trái dấu.

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức:

A = (x₁² + x₁ - 1)/x₁ - (x₂² + x₂ - 1)/x₂

• Vì x₁, x₂ là nghiệm của (1) nên x₁² - mx₁ - 1 = 0 và x₂² - mx₂ - 1 = 0.
• Suy ra x₁² = mx₁ + 1 và x₂² = mx₂ + 1.
• Thay vào A, ta có:
  • A = (mx₁ + 1 + x₁ - 1)/x₁ - (mx₂ + 1 + x₂ - 1)/x₂
  • A = (mx₁ + x₁)/x₁ - (mx₂ + x₂)/x₂
  • A = m + 1 - (m + 1) = 0

Câu 1:

• Văn bản trên thuộc thể loại truyện trinh thám.

Câu 2:

• Ngôi kể được sử dụng trong văn bản là ngôi thứ nhất, người kể chuyện xưng "tôi" (Waston).

Câu 3:

• Câu ghép trên là câu ghép đẳng lập.
• Quan hệ ý nghĩa giữa các vế của câu ghép là quan hệ liệt kê.

Câu 4:

• Vụ án này được coi là một vụ án nan giải, hóc búa vì:
  • Hiện trường vụ án có nhiều điểm đáng ngờ, manh mối phức tạp, khó xác định hung thủ và động cơ gây án.
  • Nạn nhân chết mà không có bất kì thương tích nào trên người.
  • Sự xuất hiện của chữ "Rache" viết bằng máu tại hai hiện trường gây khó khăn trong việc xác định mục đích của hung thủ.

Câu 5:

• Cách lập luận của Sherlock Holmes rất sắc bén, logic và khoa học:
  • Ông sử dụng phương pháp suy luận ngược chiều, đi từ kết quả đến nguyên nhân.
  • Ông quan sát tỉ mỉ hiện trường, phân tích từng chi tiết nhỏ nhất để tìm ra manh mối.
  • Ông sử dụng phương pháp loại trừ để loại bỏ những giả thuyết không phù hợp.
  • Ông kết hợp giữa quan sát thực tế và suy luận logic để đưa ra những nhận định chính xác.
  • Ông không bỏ qua những chi tiết nhỏ nhặt nhất.
  • Ông có khả năng liên kết các sự kiện, xâu chuỗi các manh mối để tạo nên một bức tranh toàn diện về vụ án.

Câu 1:

Trong đoạn trích từ "Sherlock Holmes toàn tập", nhân vật Sherlock Holmes hiện lên như một thám tử tài ba với khả năng suy luận sắc bén và tư duy logic tuyệt vời. Holmes không chỉ đơn thuần là một người quan sát, mà còn là một nhà phân tích tài tình, có khả năng xâu chuỗi các chi tiết nhỏ nhặt nhất để tạo nên một bức tranh toàn diện về vụ án. Ông sử dụng phương pháp suy luận ngược chiều, đi từ kết quả đến nguyên nhân, kết hợp với phương pháp loại trừ để loại bỏ những giả thuyết không phù hợp. Holmes đặc biệt chú trọng đến việc quan sát tỉ mỉ hiện trường, phân tích từng chi tiết nhỏ nhất như vết chân, mùi hương, hay dấu vết trên tường để tìm ra manh mối. Ông có một trí nhớ tuyệt vời và khả năng liên tưởng phong phú, giúp ông kết nối các sự kiện và suy luận ra những điều mà người khác không thể nhận thấy. Ngoài ra, Holmes còn là một người rất cẩn trọng và tỉ mỉ, không bao giờ bỏ qua bất kỳ chi tiết nào, dù là nhỏ nhất. Ông luôn đặt câu hỏi và tìm kiếm câu trả lời cho đến khi tìm ra sự thật. Với trí tuệ siêu phàm và phương pháp làm việc khoa học, Sherlock Holmes đã trở thành một biểu tượng của sự thông minh và tài năng trong văn học trinh thám.

Câu 2:

Trong bối cảnh hội nhập quốc tế hiện nay, thế hệ trẻ Việt Nam đóng vai trò vô cùng quan trọng đối với sự phát triển của đất nước. Với sức trẻ, sự năng động và khả năng tiếp thu nhanh chóng những kiến thức mới, thế hệ trẻ là lực lượng tiên phong trong việc xây dựng một Việt Nam hiện đại và hội nhập. Trách nhiệm của thế hệ trẻ không chỉ là học tập và rèn luyện để nâng cao trình độ chuyên môn, mà còn là phải có ý thức trách nhiệm với cộng đồng và đất nước. Họ cần phải tích cực tham gia vào các hoạt động xã hội, góp phần giải quyết những vấn đề cấp bách của đất nước như bảo vệ môi trường, xóa đói giảm nghèo, và xây dựng một xã hội công bằng và văn minh.

Thế hệ trẻ cũng cần phải có tinh thần tự hào dân tộc, giữ gìn và phát huy những giá trị văn hóa truyền thống của đất nước. Trong quá trình hội nhập, họ cần phải biết chọn lọc và tiếp thu những tinh hoa văn hóa của nhân loại, đồng thời giữ vững bản sắc văn hóa của dân tộc. Họ cần phải là những người đại diện cho Việt Nam trên trường quốc tế, giới thiệu và quảng bá những giá trị văn hóa tốt đẹp của đất nước đến bạn bè quốc tế. Ngoài ra, thế hệ trẻ cũng cần phải có ý thức trách nhiệm với tương lai của đất nước. Họ cần phải là những người tiên phong trong việc đổi mới và sáng tạo, góp phần đưa Việt Nam tiến lên phía trước, sánh vai với các cường quốc năm châu. Với tinh thần yêu nước, trách nhiệm và nhiệt huyết, thế hệ trẻ Việt Nam sẽ là lực lượng nòng cốt trong việc xây dựng một Việt Nam giàu mạnh và phồn vinh.

Câu 1:

• Văn bản trên thuộc thể loại truyện trinh thám.

Câu 2:

• Ngôi kể được sử dụng trong văn bản là ngôi thứ nhất, người kể chuyện xưng "tôi" (Waston).

Câu 3:

• Câu ghép trên là câu ghép đẳng lập.
• Quan hệ ý nghĩa giữa các vế của câu ghép là quan hệ liệt kê.

Câu 4:

• Vụ án này được coi là một vụ án nan giải, hóc búa vì:
  • Hiện trường vụ án có nhiều điểm đáng ngờ, manh mối phức tạp, khó xác định hung thủ và động cơ gây án.
  • Nạn nhân chết mà không có bất kì thương tích nào trên người.
  • Sự xuất hiện của chữ "Rache" viết bằng máu tại hai hiện trường gây khó khăn trong việc xác định mục đích của hung thủ.

Câu 5:

• Cách lập luận của Sherlock Holmes rất sắc bén, logic và khoa học:
  • Ông sử dụng phương pháp suy luận ngược chiều, đi từ kết quả đến nguyên nhân.
  • Ông quan sát tỉ mỉ hiện trường, phân tích từng chi tiết nhỏ nhất để tìm ra manh mối.
  • Ông sử dụng phương pháp loại trừ để loại bỏ những giả thuyết không phù hợp.
  • Ông kết hợp giữa quan sát thực tế và suy luận logic để đưa ra những nhận định chính xác.
  • Ông không bỏ qua những chi tiết nhỏ nhặt nhất.
  • Ông có khả năng liên kết các sự kiện, xâu chuỗi các manh mối để tạo nên một bức tranh toàn diện về vụ án.