1.xác định t/c của hbh ABCD

vì ABCD là hình,ta có các cạnh cặp đối song song và bằng nhau AB\\DC

2.xét hai tấm giác vuông ∆ABH và ∆CDK

Theo gt,AH vuông góc với BC tại H,nên AHB=90°

Theo gt,CK vuông góc với BC tại K,nên CKD=90°

Vì AB\\DC và BD và đường chéo,suy ra 2 góc so le trong bằng nhau AHD=CDK

Ta có AB=CD( cạnh đối của hbh ABCD)

Xét hai tam giác vuông ∆ABH và ∆CDK,ta có:

AHB=CKD=90°(cạnh góc vuông)

AB=CD(cạnh huyền)

ABH=CDK(góc nhọn)

Do đó,∆ABH=∆CDK( trường hợp cạnh huyền-góc nhọn)

Từ ∆ABH=∆CDK,ta suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau

AH=CK

BH=DK

ta có AH vuông góc BD và CK vuông góc BD nên AH || CK

Ta đã cm được AH=CK

Xét tứ giác AHCK có một cặp cạnh đối AH và CK vừa song song vừa bằng nhau

Vậy,tứ giác AHCK là hbh

b) Gọi Ở là trung điểm của HK,cm IB=ID

Để cm IB=ID, sử dụng các t/c đã có

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD của hbh ABCD

Theo t/có của hbh,hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.do đó O là trung điểm của AC và O cũng là trung điểm của BD

Suy ra AO=OC và BO=OD

Ta có O là trung điểm của HK và theo gt,I là trung điểm của HK

Điều này có nghĩa là điểm Ở Trùng với điểm O(I=O)

Vì I= Ở,nên IB=OB và ID=OD

Do O là trung điểm của BD ta có BO=OD

Suy ra IB=ID

a) chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành

Ta có:

1,ABCD là hình bình hành,do đó 2 cạnh đối AD và BC song song với nhau và có độ dài bằng nhau:AD\\BC và AD=BC

2,E là trung điểm của AD,suy ra đội dài đoạn thẳng ED bằng một nửa độ dài AD:ED=1/2 AD

3,F là trung điểm của BC,suy ra đội dài đoạn thẳng BF bằng một nửa độ dài BC:BF=1/2BC

Từ 1,2,3 ta có: ED=1/2 AD=1/2BC=BF

Vì AD\\BC,nên 2 đoạn thẳng ED và BF(nằm trên AD và BC) cũng song song với nhau:ED\\BF.

Xét tứ giác EBFD,ta thấy 2 cạnh đối ED và BF vừa song song vừa bằng nhau vậy,tứ giác EBFD là một hình bình hành

b) chứng minh Ba điểm E,O,F thẳng hàng:

Từ kq câu a) ta đã cm đc tứ giác EBFD là một hbh.

Trong hbh EBFD,hai đường chéo là EF và BD.

Theo t/c của hbh,2 đường chéo cắt nhau tại Trung điểm của mỗi đường

Gọi O là giáo điểm của 2 đường chéo EF và BD của hbh EBFD.Khi đó,O là trung điểm của BC và O cũng là trung điểm của EF.

Đề bài cho biết O là giao điểm của 2 đường chéo EF và BD của hbh EBFD khi đó,O là trung điểm của BD và O cũng là trung điểm của EF.

Đề bài cho biết O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD của hbh ABCD

Theo t/c của hbh ABCD 2 đường chéo của nó cắt nhau tại Trung điểm của mỗi đường do đó O là trung điểm của đường chéo BD

So sánh 2 kết quả ở trên O là trung điểm của BD

Điều này suy ra ở 2 điểm O và O trùng nhau

Vì O trùng O, và O là trung điểm của đoạn thẳng EF, điều đó có nghĩa là 3 điểm E,O,F nằm trên cùng một đường thẳng O nằm giữa E và F vậy 3 điểm E,O,F thẳng hàng

1,Xét tam giác ABC

Theo giả thiết,BM và CN là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, điều này có nghĩa là M là trung điểm của cạnh AC và N là trung điểm của cạnh AB

Xét tam giác ABC ,đoạn thẳng MN nối 2 Trung điểm N của cạnh AB và M của cạnh AC

Theo định lý về đường trung bình của tam giác,ta có:

MN\\BC(đường thẳng MN song song với đường thẳng BC)

MN=1/2 BC( độ dài đoạn thẳng MN bằng một nửa độ dài đoạn thẳng BC)

2,Xét ∆GBC

Theo giả thiết,P là trung điểm của đoạn thẳng GB và Q là trung điểm của đoạn thẳng GC

Xét ∆GBC,đoạn thẳng PQ nối 2 trung điểm của P cạnh GB và Q của cạnh GC.

Áp dụng định lý về đường trung bình của tam giác,ta có:

PQ\\BC(đường thẳng PQ sống song với đường BC)

PQ=1/2 BC(độ dài đoạn thẳng PQ bằng một nửa độ dài đoạn thẳng BC)

Từ bước 1 và 2,ta có:

Vì MN\\BC và PQ\\BC,suy ra MN\\PQ

Vì MN=1/2 BC và PQ=1/2 BC,suy ra MN=PQ

Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì nó là hình bình hành.

Do đó,tứ giác PQMN là hbh

Gọi O là giáo điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD

Một đường thằng đi qua O cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N

1.chứng minh ∆OAM và ∆OCN:

Góc AOM=CON( vì đây là 2 góc đối đỉnh)

Đoạn OA=OC ( đã cm)

OM=ON(vì M và N là hai điểm trên cùng đường thẳng đi qua O,Ở nằm giữa M và N nên OM=ON

2,Suy ra tứ giác MBNB là hbh:

Từ việc 2 tam giác bằng nhau trên ,ta có OM=ON và AM=CN

Do đó,ta có:

MN//ND(vì AB//CD và M,N nằm trên cách cạnh này)

MN=ND 2đoạn thẳng tương ứng bằng nhau theo t/c của ∆ bằng nhau

Vậy trong tứ giác MBND,hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên MBND là hình bình hành.

Đã cm được ∆OAM=∆OCN

Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Gọi O là giáo điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD

Một đường thằng đi qua O cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N

1.chứng minh ∆OAM và ∆OCN:

Góc AOM=CON( vì đây là 2 góc đối đỉnh)

Đoạn OA=OC ( đã cm)

OM=ON(vì M và N là hai điểm trên cùng đường thẳng đi qua O,Ở nằm giữa M và N nên OM=ON

2,Suy ra tứ giác MBNB là hbh:

Từ việc 2 tam giác bằng nhau trên ,ta có OM=ON và AM=CN

Do đó,ta có:

MN//ND(vì AB//CD và M,N nằm trên cách cạnh này)

MN=ND 2đoạn thẳng tương ứng bằng nhau theo t/c của ∆ bằng nhau

Vậy trong tứ giác MBND,hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên MBND là hình bình hành.

Đã cm được ∆OAM=∆OCN

Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.