a)Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC; AD // BC

Mà E, F là trung điểm của AD, BC (gt)

Suy ra AE=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD ta có:

ED=FB (cmt)

ED // BF (do AD // BC)

Suy ra EDFB là hình bình hành

b) Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Mà DEBF là hình bình hành (gt)

Suy ra O cũng là trung điểm của EF

Suy ra E, O, F thẳng hàng

Δ A B C có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm của tam giác. ⇒ B G = 2 3 B M ; G M = 1 3 B M ( 1 ) Mà: P G = 1 2 B G = 1 2 . 2 3 B M = 1 3 B M ( 2 ) Từ (1), (2) suy ra GM = PG Chứng minh tương tự ta cũng có QG = GN Tứ giác PQMN có hai đường chéo QN và PM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a) Vì AH, CK vuông góc với BD (gt)

Suy ra AH // CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC; AD // BC

Xét ΔADH và ΔCBK ta có:

ˆAHD=ˆCKB=90∘ (gt)

AD=BC (cmt)

ˆADH=ˆCBK (do AD // BC)

Suy ra ΔADH=ΔCBK (ch-gn)

Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng)

Mà AH // CK (cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm.

Mà I là trung điểm của HK.

Suy ra I là trung điểm của AC.

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB=ID

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành. Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là M. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà M là trung điểm của AF. Suy ra M cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD. • AB // CD nên AM // CN suy ra ˆ O A M = ˆ O C N (hai góc so le trong). Xét ∆OAM và ∆OCN có: ˆ O A M = ˆ O C N (chứng minh trên) OA = OC (chứng minh trên) ˆ A O M = ˆ C O N (hai góc đối đỉnh) Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g). Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng) Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN. Suy ra BM = DN. Xét tứ giác MBND có: • BM // DN (vì AB // CD) • BM = DN (chứng minh trên) Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành. Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là M. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà M là trung điểm của AF. Suy ra M cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.