a. Vì AH, CK vuông góc với BD (gt)

Suy ra AH//CK

Vì ABCD là hình bình hành ( gt)

Suy ra AD=BC; AD//BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK có

Góc AHD = góc CKB(gt)

AD= BC(cmt)

Góc ADH= góc CBK (do AD// BC)

Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK( ch-gn)

Suy ra AH=CK( hai cạnh tương ứng)

Mà AH// CK(cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

a. Vù ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD = BC; AD// BC

Mà E,F là trung điểm của AD và BC

Suy ra AE= ED= BF= FC

Xét tứ giác EBFD có

ED= BF( cmt)

ED// BF ( do AD//BC)

Suy ra EDFB là hinh bình hành

b. Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Mà DEBF là hình bình hành (gt)

Suy ra O là trung điểm của EF

Suy ra E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(GT)

Nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM= GB/2; GN=GC/2 (tc trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB ( gt)

Nên GP=PB = GB/2 (2)

Q là trung điểm của GC (gt)

Nên GQ=QC =GC/2 (3)

Từ 1,2 và 3 ta suy ra GM = GP; GN= GQ

Xét tứ giác PQMN

GM=GP(cmt)

GN=GQ (cmt)

Vậy nên tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên tứ giác PQMN là hình bình hành

a. Ta có ABCD là hình bình hành nên

AD=BC

B là trung điểm của AE nên AE= 2AB

C là trung điểm của DF nên DF=2 DC

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DC

Suy ra AE=2AB=2DC=DF

Vì AE = DF nên tứ giác AEFD là hình bình hành

Ta ó ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AB= DC

C là trung điểm của DF nên CF= DC

Nên AB= DC= CF

Vì AB= CF nên tứ giác ABFC là hình bình hành

Xét tam giác OAM và OCN có

góc OAM = góc OCN ( hai góc so le trong )

OA=OC ( vì O là trung điểm của AC)

góc AOM= CON ( hai góc đối đỉnh )

Vậy tam giác OAM= tam giác OCN ( c.g.c)

Nên OM=ON ( hai cạnh tương ứng )

Tứ giác MBND có 2 đường chéo MN vag BD cắt nhau tại trung điểm là O của mỗi đường

Suy ra : tứ giác MBND là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

a, Cm tứ giác AEFD và tứ giác AECF là hình bình hành

Tứ giác AEFD, có:

AE // DF và AE=DF

(vì E, F là trung điểm của AB, CD và AB=CD)

Tứ giác AECF, có :

AE//FC và AE= FC

( vì E,F là trung điểm của AB,CD và AB=CD)

b. Vì AEFD là hình bình hành ( chứng minh a)

Suy ra :

EF=AD ;AF=EC ( các cạnh đối bằng nhau )