a) Vì \(A H\), \(C K\) vuông góc với \(B D\) (gt)

Suy ra \(A H\) // \(C K\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(A D = B C\); \(A D\) // \(B C\)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) ta có:

\(\hat{A H D} = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\) (gt)

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (do \(A D\) // \(B C\))

Suy ra \(\Delta A D H = \Delta C B K\) (ch-gn)

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(A H\) // \(C K\) (cmt)

Suy ra \(A H C K\) là hình bình hành

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(H K\) và \(A C\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\).

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(B D\) hay \(I B = I D\)

a) Vì \(A H\), \(C K\) vuông góc với \(B D\) (gt)

Suy ra \(A H\) // \(C K\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(A D = B C\); \(A D\) // \(B C\)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) ta có:

\(\hat{A H D} = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\) (gt)

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (do \(A D\) // \(B C\))

Suy ra \(\Delta A D H = \Delta C B K\) (ch-gn)

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(A H\) // \(C K\) (cmt)

Suy ra \(A H C K\) là hình bình hành

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(H K\) và \(A C\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\).

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(B D\) hay \(I B = I D\)

a) Vì \(A H\), \(C K\) vuông góc với \(B D\) (gt)

Suy ra \(A H\) // \(C K\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(A D = B C\); \(A D\) // \(B C\)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) ta có:

\(\hat{A H D} = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\) (gt)

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (do \(A D\) // \(B C\))

Suy ra \(\Delta A D H = \Delta C B K\) (ch-gn)

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(A H\) // \(C K\) (cmt)

Suy ra \(A H C K\) là hình bình hành

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(H K\) và \(A C\) cắt nhau tại trung điểm.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\).

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Ta lại có \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm. 

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(B D\) hay \(I B = I D\)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là M.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà M là trung điểm của AF.

Suy ra M cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

vì Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN

(chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON

(hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên)

AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

vì ABCD là hình bình hành nên

AB=CD

AB//CD

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD

Nên AE=BE=1/2 AB

CF=DF=1/2CD

do đó AE=BE

Suy ra CF=BE

xét tứ giác BFDE

BE=DF(cmt)

BE//DF (vì AB//CD)

Do đó tứ giác BFDE là hình bình hành

Suy ra BE=DF