Đánh số trang trong tài liệu hoặc sách giáo khoa là quan trọng vì nhiều lý do:

• Giúp người đọc có thể dễ dàng tìm kiếm trang thông tin.
• Thể hiện thông tin có tổ chức, sắp xếp một cách có hệ thống.
• Người đọc dễ dàng đánh dấu và trở lại nơi họ đã dừng đọc.
• Số trang sẽ giúp đảm bảo các trang được xếp đúng thứ tự, tránh nhầm lẫn.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của ΔABC.

suy ra GM=2GB​;GN=2GC​ (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP=PB=2GB​ (2)

Q là trung điểm của GC (giả thiết) nên GQ=QC=2GC​ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM=GP và GN=GQ.

Xét tứ giác PQMN có: GM=GP và GN=GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD// BC và AD=BC.

Do AD// BC nên ADB =CBD (so le trong)

Xét ΔADH và ΔCBKcó:

     AHD =CKB=90∘

     AD=BC (chứng minh trên);

     ADH =CBK(do ADB =CBD).

Do đó Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH⊥ DB và CK⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo ACvà HKcắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (giả thiết) nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB=ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

→DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

→DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có :

- hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA=OC ,OB=OD

-AB//CD nên MA//NC ,góc MAO=góc NCO (2 góc so le trong)

Xét ΔOAM và ΔOCN có

góc MAO=góc NCO

OA=OB

góc AOM=góc COM

→ΔOAM=ΔOCN(g-c-g)

AM=CN(ΔOAM=ΔOCN)

Ta có :

-AB=DC

-AM=CN

→BM=DN (1)

-AB//CD

→BM//DN(2)

Từ 1 và 2 , suy ra MBND là hình bình hành

a, Tứ giác ABCD có :

- AB//CD suy ra AE//DF//BE//CF

- AE=BE=1/2 AB , DF=CF=1/2 DC mà AB=DC

Suy ra AE=BE=DF=CF

Tứ giác AEFD có :

AE//DF và AE=DF nên AEFD là hình bình hành

Tứ giác AECF có :

AE//CF và AE=CF nên AECF là hình bình hành

b, Theo chứng minh a, ta có :

AEFD là hình bình hành nên AD=EF

AECF là hình bình hành nên AF=EC