Xác định các điểm và đoạn thẳng quan trọng.

M là trung điểm của AC

N là trung điểm của AB

G là giao điểm của BM và CN ( Trọng tâm của tam giác abc)

P là trung điểm của GB

Q là trung điểm của GC.

Chứng minh PQ là đường trung bình của Tam giác GBC .

Vì P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC , nên PQ Là trung bình của Tam giác GBC.

Do đó , PQ song song với BC và PQ = 1/2 BC .

Chứng minh MN là đường trung bình của Tam giác ABC .

Vì M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB , nên MN là đường trung bình của Tam giác ABC.

Do đó, MN song song với BC và MN = 1/2 BC.

So sánh PQ và MN .

Vì PQ song song với BC và MN song song với BC , nên PQ song song với MN .

Vì PQ = 1/2 BC và MN = 1/2 BC , nên PQ = MN .

Kết luận về tứ giác PQMN.

Tứ giác PQMN có hai cạnh đối diện PQ và MN song song và bằng nhau.

Vậy, tứ giác PQMN là hình bình hành.

a)

Chứng minh AEFD là hình bình hành

Vì B là chung điểm của AE nên AB=BE. Vì ABC là hình bình hành nên AB=CD và AB//CD. Suy ra BE=CD và BE//CD. Do đó từ tứ giác BECD là hình bình hành. Vì C là trung điểm của DF nên CD=CF. Suy ra AB=CF và AB//CF. Do đó ABCF là hình bình hành . Vì AB=BE và AB=CF nên BE=CF . Vì C là tr điểm của DF nên CD=CF. Suy ra CD=CF. Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD // BC . Vì ABFC là hình bình hành nên AF = BC và AF // BC . Suy ra AD = FA và AD // A. do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành.

Chứng minh ABFC là hình bình hành.

vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD . Vì F là điểm sao cho C là trung điểm của DF nên CD = CF . Suy ra AB // CF và AB = CF . Do đó, tứ giác ABFC là hình bình hành .

Chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF , DE , BC trùng nhau .

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AF , DE , BC . vì AEFD là hình bình hành nên AD // EF và AD = EF . Vì ABFC là hình bình hành nên AF // BC và AF = BC . gọi O là giao điểm của AC và BD . Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BC nên P là trung điểm của AF . Suy ra M, N , P trùng nhau

vì ABCD là hình bình hành , nên O là trung điểm của AC và BD . Do đó , OA = OC .

Vì AB // CD ( do ABCD là hình bình hành ) , nên góc OAM = góc OCN ( hai góc so le trong ).

Vì M, O , N thẳng hàng , nên góc AOM = góc CON ( hai góc đối đỉnh).

Vậy , tam giác OAM = tam giác OCN ( g.c.g ).

Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì tam giác OAM = tam giác OCN ( chứng minh trên ), nên AM = CN .

Ta có : MB = AB - AM và ND = CD - CN .

vì ABCD là hình bình hành, nên AB = CD .

do đó , MB = CD - CN = ND .

Vì MB // ND ( do AB // CD ) , nên tứ giác MBND là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ).

1, a : Vì EF lần lượt là trung điểm của AB,CD nên AE = 1/2 nên AB và DF =1/2 CD

Mà AB =CD ( do ABCD hbh ) , suy ra AE=DF

Mặt khác , AE // DF ( Vì AB // CD ) , do đó tứ giác AEFD là hbh ( có 1 cặp cạnh đối // và = nhau )

Chứng minh AECF là hbh

Tương tự như trên EC = 1/2 AB và AF = 1/2 CD.

Mà AB = CD ( do ABCD là hình bình hành )

Suy ra EC = AF .

Mặt khác , EC // AF ( vì AB // CD ) , do đó tứ giác AECF là hình bình hành ( có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ).

Chứng minh EF = AD và AF = EC .

Vì AEFD là hình bình hành ( chứng minh trên ), suy ra EF = AD ( các cạnh đối của hình bình hành).

Vì AECF là hình bình hành ( chứng minh trên ), suy ra AF = EC ( các cạnh đối của hình bình hành ).