a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành:
Chứng minh AH // CK
Vì AH vuông góc với BD và CK vuông góc với BD nên AH // CK.

Chứng minh tam giác AHB bằng tam giác CKB
Xét tam giác AHB và tam giác CKB có:
góc AHB = góc CKB = 90 độ
AB = CD (tính chất hình bình hành)
góc ABH = góc CDK (hai góc so le trong, AB // CD)
Vậy tam giác AHB = tam giác CKB (cạnh huyền - góc nhọn)
=> AH = CK
Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK.
Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

b) Chứng minh IB = ID:
Chứng minh O là trung điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình bình hành nên O là giao điểm của AC và BD, và O là trung điểm của AC và BD.

Chứng minh I là trung điểm của BD
Vì AHCK là hình bình hành nên AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I là trung điểm của HK nên I cũng là trung điểm của AC.
Vậy I trùng với O (vì O cũng là trung điểm của AC).
Do đó, I là trung điểm của BD.
Vì I là trung điểm của BD nên IB = ID.

[Đáp án]
a) Tứ giác AHCK là hình bình hành.
b) IB = ID.

a) Để chứng minh EBFD là hình bình hành, ta cần chứng minh một trong các điều kiện .

[Giải]
a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành

Chứng minh EB // DF
Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC.
Mà E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC nên AE = 1/2 AD và CF = 1/2 BC.
Do AD = BC (tính chất hình bình hành) nên AE = CF.
Vì AD // BC nên ED // BF.
Vì AD = BC và E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC nên ED = 1/2 AD và BF = 1/2 BC.
Suy ra ED = BF.
Tứ giác EBFD có ED // BF và ED = BF.
Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành.

b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳngChứng minh O là trung điểm của EF
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD.
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AD và O là trung điểm của AC.
=> EO là đường trung bình của tam giác ADC.
=> EO // DC và EO = 1/2 DC.
Xét tam giác ABC có F là trung điểm của BC và O là trung điểm của AC.
=> OF là đường trung bình của tam giác ABC.
=> OF // AB và OF = 1/2 AB.
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // DC và AB = DC.
=> EO // OF và EO = OF (vì EO = 1/2 DC và OF = 1/2 AB và AB = DC).
Vậy E, O, F thẳng hàng.

[Đáp án]
a) Tứ giác EBFD là hình bình hành.
b) Ba điểm E, O, F thẳng hàng.

• Vì BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
• P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC.
• Ta cần chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành. Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh một trong các điều kiện sau:
• 1. Hai cặp cạnh đối song song.
  2. Hai cặp cạnh đối bằng nhau.
  3. Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
  4. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Ta sẽ sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh PQ // BC và MN // BC, từ đó suy ra PQ // MN.
• Tương tự, ta sẽ chứng minh PQ = MN.

[Giải]
Chứng minh PQ // BC và PQ = 1/2 BC
Trong tam giác GBC, P là trung điểm của GB và Q là trung điểm của GC.
Do đó, PQ là đường trung bình của tam giác GBC.
Theo tính chất đường trung bình, ta có:
PQ // BC và PQ = 1/2 BC (1) Chứng minh MN // BC và MN = 1/2 BC
Trong tam giác ABC, M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.
Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Theo tính chất đường trung bình, ta có:
MN // BC và MN = 1/2 BC (2)

Chứng minh PQ // MN và PQ = MN
Từ (1) và (2), ta có:
PQ // BC và MN // BC => PQ // MN
PQ = 1/2 BC và MN = 1/2 BC => PQ = MN

Suy ra:
Tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (PQ // MN và PQ = MN).
Vậy, tứ giác PQMN là hình bình hành
Tứ giác PQMN là hình bình hành.

a,Xét tứ giác AEFD ta có:

AB=1/2AE

DC=1/2DF

AB=DC

Suy raAE=DF

Mà AB//DC nên

AEFD là hình bình hành

Ta có:

AB=DC

Mà DC=CF nên suy ra:

AB=CF

Mà AB//DC nên

ABFC là hình bình hành

b,Vì AEFD là hình bình hành nên

Hai dường chéo DE và À cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

B là trung điểm của AE

C là trung điểm của DF

Nên những đường chéo phải cắt qua trung điểm BC

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

AO=CO(gt)

Góc MAO=Góc OCN(hai góc so le trong)

Cạnh MN chung

Suy ra tam giác OAM =tam giác OCN

Từ tam giác OAM=tam giác OCN có:

OM=ON

Từ ABCD là hình bình hành, ta có:

DO=DB

Tứ giác MBND là hình bình hành(hai dường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có:AE=1/2AB

a,DF=1/2DC

DC=AB

Suy ra AE=DF

Mà AB//CD(ABCD là hình bình hành)

Ta lại có EB=1/2AB

FC=1/2DC

DC=AB

Suy ra EB=FC

Mà AB//CD(ABCD là hình bình hành)

b,Từ AEDF là hình bình hành, ta có:

AD=EF

Ta có:AE=DF(gt)

DF=FC(gt)

Hay AE=DF=FC

Nên AE=DF

Mà AB//DC nên:

AEFC là hình bình hành

Nên suy ra:AE=EC