a) Xét : Δ A D H v a ˋ Δ C B K ΔADHv a ˋ ΔCBK có : góc : AHD = góc : CKB ( = 90 độ ) AD=BC ( ABCD là hbh ) góc ADH = góc CBK ( 2 góc ở vị trí slt tạo bởi 2 đường thẳng song song là AD và BC ) Do đó : Δ A D H = Δ C B K ( c . h − g . n ) ΔADH=ΔCBK(c.h−g.n) ⇒ A H = C K ⇒AH=CK Xét t/g AHCK có : AH//CK ( cùng vuông góc với BD ) AH = CK (cmt) Suy ra : t/g AHCK là hbh. b) Từ a) : suy ra : AHCK là hbh. Suy ra : AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của HK. Suy ra : I cũng là trung điểm của AC. Ta có : ABCD là hbh. Suy ra : AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường . Mà I là trung điểm của AC. Suy ra : I cũng là trung điểm của BD. Suy ra : IB=ID.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC. Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC. Suy ra DE = BF. Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD. Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Xét tg ABG có:

NA=NC,PB=PG=> PG là đường trung trực của tg ABG

=> PN=1/2 AG=> AG=2/1

AG(1)

=> PN=AG(2)

Xét tg ACG có

MA=MC,QC=QG

=>QN là đường trung trực của tg ACG

=>QM=1/2 AG

=>QM=2/1 AG (3)

=>QM//AG (4)

Từ (2),(4) suy ra PM//QM

Từ (1),(3) suy ra PN=QG=1/2AG

=>PN=QM=2/1 AG

=> PQMN Là hình bình hành(yuw giác có một cặp can đối // và = là hình bình hành)

Xét tg OAM=OCN

BAC= ACD(góc so le trong)

OA=OC(trong hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

AOM=CON (góc đối đỉnh)

Suy ra tg OAM=OCN (g.c.g)

Suy ra AM=CN

Ta có AB=CD ( cạnh đối hình bình hành)

=>AB-AM=CD-CN

=>MB=ND (1)

Ta có AB//CD (cạnh đối hình bình hành)

=>MB//ND (2)

Từ (1),(2) suy ra MBND là hình bình hành ( tứ giác có một cặp cạnh đối // và = là hình bình hành)

Vì ABC là hình bình hành nên AB=CD

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD nên AE=BE=12,

AB,CF=12CD

Do đó AE=BE=CF=DF

Xét tứ giác AECF, ta có:

AE//CF (vì AB//CD)

AE=CF(Cmt)

Do đó tứ giác AFCE là hình bình hành

Vậy hai tứ giác AEFD,ACEF là những hình bình hành

b) vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF=AD

Vì tứ giác ACEF là hình bình hành nên AF=EC

Vậy EF=AD,AF=EC