There are some things I like about life in the countryside. In the countryside, thế air is fresh, lots of tree, there are still many rice fields and specially clean food. Buying things in the countryside is cheaper than in the city, lost cow of living. It's quiet and no noisy here. People is hard-working and hospitable. There is less traffic and no traffic jams. That's why I like it.

a) Vì AD // BC nên ^ADB = ^CBD ( SLT)

Xét Δ vuông ADH và Δ vuông CBK có:

^ADB = ^CBD ( cmt)

AD = BC ( ABCD là HBH)

Suy ra : Δ vuông ADH = Δ vuông CBK ( ch - gv )

AH = CK ( 2 góc tương ứng) (1)

AH ⊥ BD ; CK ⊥ BD

Suy ra AH // CK (2)

Từ 1 và 2 suy ra AHCK là hình bình hành ( tứ giác có 1 cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau)

b) DH = BK ( Δ vuông ADH = Δ vuông CBK)

IH = IK ( gt)

Mà DH + IH = ID

BK + IK = IB Suy ra ID =IB

a) ED = EA = 1/2 AD

BF = FC = 1/2 BC mà AD = BC

Suy ra EA = ED = BF = FC (1)

AD // BC suy ra ED // BF (2)

Từ 1 và 2 suy ra EBFD là hình bình hành

b) Trong tứ giác ABCD 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên O là trung điểm mỗi đường

Trong tứ giác EBFD: 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại O

nên O là trung điểm EF

Vậy E, O, F thẳng hàng

Δ ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm

Suy ra GM = 1/2 GB ; GN = 1/2 GC (1)

P là trung điẻm của GB nên PG = PB = 1/2 GB (2)

Q là trung điểm của GC nên QG = QC = 1/2 GC (3)

Từ 1 ,2 ,3 ta có: PQMN có GM = GP, GN = GQ

Vậy tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên PQMN là HBH.

a) AB = DC mà AB = BE ; DC = CF

Suy ra: AB = BE = DC = CF và AE = DF

AEFD là HBH vì AE = DF và AE // DF ( vì AB // DC)

AB // CF ; AB = CF ( cmt ) hay ABFC là HBH

b) Gọi O là giao điểm đó

Trong HBH AEFD có AE , DE là đường chéo cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường

Trong HBH ABFC có AF ,BC là đường chéo cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường

Vậy các trung điểm của 3 đoạn thẳng AF, DE , BC trùng nhau

Vì ABCD là HBH ta có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau nên OA = OC

Xét ΔOAM và Δ OCN có:

^OAM = ^OCN ( SLT)

^AOM = ^CON ( 2 góc đối đỉnh)

OA = OC ( cmt)

Suy ra: ΔOAM = Δ OCN (g-c-g)

MA = NC ( 2 góc tương ứng)

AB = DC

MA + MB = AB

DN + NC = DC

Suy ra: MB = DN mà MB // DN

Vậy MBND là HBH ( tứ giác có 1 cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC; AB // DC từ đó suy ra AE // DF (1) ;BE // FC

AE = EB = 1/2 AB ; DF = FC = 1/2 DC mà DC = AB

Suy ra: AE = EB = DF = FC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AEFD là HBH ( tứ giác có 1 cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau)

Trong tứ giác AECF: ta có AE = FC ( cmt )(3)

AE // DF mà DF và FC nằm trên cùng 1 đường thẳng nên AE // FC (4)

Từ 3 và 4 suy ra AECF là HBH ( tứ giác có các cặp cạnh đối // )

b) Vì AEFD là HBH nên EF = AD

Vì AECF là HBH nên AF = EC