∆ABC có 2 đường trung tuyến là BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra BG= 2/3 BM và GM = 1/3 BM (1)

PG= 1/2 BG= 1/2 . 2/3 BM = 1/3 BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM=PG

Tương tự ta cũng có QG=GN

Tứ giác PQMN có 2 đường chéo là MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành .

a) Ta có AH vuông góc với BD và CK vuông góc với BD suy ra AH//CK.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD , AB//CD; AD=BC , AD//BC

Xét ∆ADH và ∆CBK có :

AD=BC (cmt)

Góc ADH = Góc CBK ( 2 góc so le trong , AB//CD )

Vậy ∆ADH=∆CBK ( cạnh huyền - góc nhọn )

Suy ra AH = CK ( 2 cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có :

AH//CK (cmt)

AH=CK (cmt)

Suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành .

b) Do AHCK là hình bình hành nên có 2 đường chéo là HK và AC mà I là trung điểm của HK nên cũng là trung điểm của AC .

Xét hình bình hành ABCD có 2 đường chéo là AC và BD mà I là trung điểm của AC nên cũng là trung điểm của BD hay

IB=ID

a) Xét hình bình hành ABCD có :

AB=CD, AB//CD ; AD=BC, AD//BC .

Xét tứ giác EBFD có :

ED = BF ( do AD=BC mà E và F là các trung điểm của AD và BC )

ED//BF ( do AD//BC )

Suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành .

b) Vì ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của BD và AC . Tứ giác EBFD là hình bình hành nên có các đường chéo là EF và BD.

Do O là trung điểm của BD nên cũng là trung điểm của EF

Suy ra ba điểm E,O,F thẳng hàng

a) Xét hình bình hành ABCD có :

AB = DC , AB//DC

Mà AB=BE , DC = CF (gt) suy ra AB=CF và BE=DC .

Ta có AE= AB+BE

DF = DC + CF

Suy ra AE=DF

Xét tứ giác AEFD có AE=DF (cmt)

AE//DF (do AB// DC).

Suy ra AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC có AB=CF(cmt)

AB//CF ( do AB//DC)

Suy ra ABFC là hình bình hành

b) Ta có AEFD là hình bình hành suy ra trung điểm của hai đường chéo AF và DE trùng nhau (1)

Ta lại có ABFC là hình bình hành suy ra trung điểm của hai đường chéo AF và BC trùng nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra các trung điểm của ba đoạn thẳng AF , DE , BC trùng nhau .

Xét ∆OAM và ∆OCN có :

MN chung (gt)

Góc AOM = Góc CON ( 2 góc đối đỉnh )

OA=OC ( do O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD )

Vậy ∆OAM=∆OCN (c.g.c)

Vì ∆OAM=∆OCN nên AM = NC ( 2 cạnh tương ứng )

Do ABCD là hình bình hành nên

AB=CD , AB//CD

Mà AB= AM + MB

CD = DN + NC

Từ đó suy ra MB = DN

Ta lại có MB//DN do AB//CD

Xét tứ giác MBND có :

MB=DN (cmt)

MB//DN (cmt)

Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành .

a) Xét hình bình hành ABCD ta có:

AB=CD , AB//CD .

Xét tứ giác AEFD có :

AE=FD (gt)

AE//FD ( do AB//CD )

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành .

Xét tứ giác AECF có :

AE=CF (do AB=CD mà E và F là các trung điểm của AB và CD)

AE//CF ( do AB//CD )

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành .

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF=AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC.