a) Xét \(\Delta K N M\) và \(\Delta M N P\) có:

     \(\hat{M K N} = \hat{N M P} = 9 0^{\circ}\);

     \(\hat{N}\) chung;

Suy ra \(\Delta K N M \sim \Delta M N P\) (g.g) (1)

Xét \(\Delta K M P\) và \(\Delta M N P\) có:

     \(\hat{M K P} = \hat{N M P} = 9 0^{\circ}\)

    \(\hat{P}\) là góc chung

Do đó \(\Delta K M P \sim \Delta M N P\) (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta K N M \sim \Delta K M P\).

b) Theo câu a \(\Delta K N M \sim \Delta K M P\).

Từ đây ta có tỉ lệ thức: \(\frac{M K}{K P} = \frac{N K}{M K}\)

Nên \(MK.MK=NK.KP\) hay \(M K^{2} = N K . K P\)

c) Từ câu b, ta tính được \(M K = 6\) cm.

Nên \(S_{M N P} = \frac{1}{2} M K . N P = \frac{1}{2} . 6. \left(\right. 4 + 9 \left.\right) = 39\) cm\(^{2}\).

a) Rút gọn \(A = \frac{\left(\right. x - 1 \left.\right)^{2}}{\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} = \frac{x - 1}{x + 1}\).

b) Với \(x = 3\) thì \(A = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{1}{2}\)

Với \(x = \frac{3}{2}\) thì \(A = \frac{- \frac{3}{2} - 1}{- \frac{3}{2} + 1} = 5\)

c) Ta có biến đối: \(A = \frac{x - 1}{x + 1} = 1 + \frac{- 2}{x + 1}\).

Để biểu thức \(A\) nguyên khi \(\frac{- 2}{x + 1}\) hay \(x + 1\) là ước của \(- 2\).

Do đó

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x\) có giá trị \(- 2 ; - 3 ; 0\) thì biểu thức \(A\) nguyên.

a) \(7 x + 2 = 0\)

\(7 x = - 2\)

\(x = - \frac{2}{7}\).

b) \(18 - 5 x = 7 + 3 x\)

\(- 5 x - 3 x = 7 - 18\)

\(- 8 x = - 11\)

\(x = \frac{11}{8}\).

Ta có: \(A = x^{2} + 2 y^{2} 2 x y + 2 x 6 y + 2 028\)

\(= x^{2} 2 x y + y^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 4 y + 1 + 4 + 2 023\)

\(= \left[\right. x^{2} - 2 x y + \left(\right. - y^{2} \left.\right) + 2 x - 2 y + 1 \left]\right. + \left(\right. y^{2} - 4 y + 4 \left.\right) + 2 023\)

\(=\left(\right.x-y+1\left.\right)^2+\left(y-2\left.\right)\right.^2+2023\)

Vì \(\left(\right.x-y+1\left.\right)^2\geq0\) với mọi \(x , y\) và \(\left(\right.y-2\left.\right)^2\geq0\) với mọi \(y\).

Suy ra \(A \geq 2 023\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(2\) \(023\) đạt được khi \(x - y = - 1\) và \(y - 2 = 0\) hay \(x = 1\) và \(y = 2\).

Ta lựa chọn biểu đồ cột.

Vẽ biểu đồ:

a) Vì \(d\) // \(C D\) // \(A B\) nên \(M P\) // \(C D\) và \(P N\) // \(A B\).

Xét \(\Delta A D C\) có \(M P\) // \(C D\):

     \(\frac{A M}{M D} = \frac{A P}{P C}\)( Định lí Thalès) (1)

Xét \(\Delta A C B\) có \(N P\) // \(A B\):

     \(\frac{A P}{P C} = \frac{B N}{N C}\)( Định lí Thalès) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C}\)

b) Chứng minh \(\frac{M P}{D C} = \frac{1}{3}\)

Suy ra \(M P = 2\) cm

Chứng minh \(\frac{N P}{A B} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(P N = \frac{8}{3}\) cm.

Tính được \(M N = \frac{14}{3}\) cm.

a) \(3 x \left(\right. x - 1 \left.\right) - 1 + x = 0\)

\(3 x \left(\right. x - 1 \left.\right) + \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. 3 x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = 0\)

Suy ra \(3 x + 1 = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\)

Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) hoặc \(x = 1\)

b) \(x^{2} - 9 x = 0\)

\(x \left(\right. x - 9 \left.\right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 9\).

a) \(x^2+25-10x=x^2-2.5.x+5^2=\left(\right.x-5\left.\right)^2\)

b) \(-8y^3+x^3=x^3-\left(\right.2y\left.\right)^3=\left(\right.x-2y\left.\right)\left(\right.x^2+2xy+4y^2\left.\right)\).

a) \(\left(\right.2x+1\left.\right)^2=4x^2+4x+1\).

b) \(\left(\right.a-\frac{b}{2}\left.\right)^3=a^3-3a^2.\frac{b}{2}+3a\left(\right.\frac{b}{2}\left.\right)^2-\left(\right.\frac{b}{2}\left.\right)^3\)

\(= a^{3} - \frac{3}{2} a^{2} b + \frac{3}{4} a b^{2} - \frac{1}{8} b^{3}\).