Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(A B C D\). Ta biết \(O\) là trung điểm của cả hai đoạn \(A C\) và \(B D\). Vì vậy dưới vectơ lấy \(O\) làm gốc ta có

\(\overset{⃗}{O A} = \mathbf{u} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \overset{⃗}{O C} = - \mathbf{u}\)

với một vectơ \(\mathbf{u}\) nào đó.

Gọi \(p\) là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng \(B D\). Phép chiếu \(p\) là một ánh xạ tuyến tính (vì chiếu vuông góc là phép tuyến tính trên không gian vectơ), nên

\(\overset{⃗}{O H} = p \left(\right. \overset{⃗}{O A} \left.\right) = p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) , \overset{⃗}{O K} = p \left(\right. \overset{⃗}{O C} \left.\right) = p \left(\right. - \mathbf{u} \left.\right) = - p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) .\)

Tức là \(\overset{⃗}{O H} = - \overset{⃗}{O K}\), nên \(H\) và \(K\) đối xứng nhau qua \(O\).

a) \(A H C K\) là hình bình hành

Từ trên, ta có

\(\overset{⃗}{A H} = \overset{⃗}{O H} - \overset{⃗}{O A} = p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) - \mathbf{u} ,\) \(\overset{⃗}{C K} = \overset{⃗}{O K} - \overset{⃗}{O C} = - p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) - \left(\right. - \mathbf{u} \left.\right) = - \left(\right. p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) - \mathbf{u} \left.\right) = - \overset{⃗}{A H} .\)

Vậy \(\overset{⃗}{C K} = - \overset{⃗}{A H}\) nên \(C K\) song song và bằng \(A H\) (ngược hướng). Do đó hai cạnh \(A H\) và \(C K\) là một cặp cạnh đối song song.

Tiếp đó,

\(\overset{⃗}{H C} = \overset{⃗}{O C} - \overset{⃗}{O H} = - \mathbf{u} - p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) = - \left(\right. \mathbf{u} + p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) \left.\right) ,\) \(\overset{⃗}{K A} = \overset{⃗}{O A} - \overset{⃗}{O K} = \mathbf{u} - \left(\right. - p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) \left.\right) = \mathbf{u} + p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right) ,\)

nên \(\overset{⃗}{H C} = - \overset{⃗}{K A}\), tức \(H C\) song song và bằng \(A K\).

Vì hai cặp cạnh đối song song nên \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Nếu \(I\) là trung điểm của \(H K\) thì \(I B = I D\)

Từ \(\overset{⃗}{O H} = p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right)\) và \(\overset{⃗}{O K} = - p \left(\right. \mathbf{u} \left.\right)\) suy ra \(O\) là trung điểm của đoạn \(H K\). Do đó \(I\) (trung điểm của \(H K\)) trùng với \(O\). Nhưng \(O\) là trung điểm của \(B D\), nên \(O B = O D\). Vì \(I \equiv O\) nên \(I B = I D\).

Kết luận: (a) \(A H C K\) là hình bình hành. (b) Nếu \(I\) là trung điểm của \(H K\) thì \(I\) trùng với giao điểm hai đường chéo \(O\), do đó \(I B = I D\).

a) Chứng minh tứ giác \(E B F D\) là hình bình hành

Ta dùng phương pháp vectơ (hoặc tọa độ).

Viết vectơ:

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} , \overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} .\)

Tính vectơ \(\overset{⃗}{E B}\) và \(\overset{⃗}{D F}\):

\(\overset{⃗}{E B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{E} = \overset{⃗}{B} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} = \frac{2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D}}{2} ,\) \(\overset{⃗}{D F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} - \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C} - 2 \overset{⃗}{D}}{2} .\)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}\), tức \(\overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{A}\). Thay vào biểu thức của \(\overset{⃗}{D F}\) ta được

\(\overset{⃗}{D F} = \frac{\overset{⃗}{B} + \left(\right. \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{A} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{D}}{2} = \frac{2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D}}{2} .\)

Vậy \(\overset{⃗}{D F} = \overset{⃗}{E B}\). Suy ra đoạn \(E B\) song song và bằng đoạn \(D F\). Do đó hai cạnh đối của tứ giác \(E B F D\) song song, nên \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Chứng minh \(E , \textrm{ } O , \textrm{ } F\) thẳng hàng

Ta tiếp tục dùng vectơ. Vì \(O\) là giao của hai đường chéo nên là trung điểm cả \(A C\) và \(B D\). Do đó

\(\overset{⃗}{O} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}}{2} .\)

Tính các vectơ \(\overset{⃗}{O E}\) và \(\overset{⃗}{F O}\):

\(\overset{⃗}{O E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{O} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} - \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C}}{2} ,\) \(\overset{⃗}{F O} = \overset{⃗}{O} - \overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} - \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{2} .\)

Nhưng trong hình bình hành \(A B \parallel D C\) và \(\overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D}\), nên \(\overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C}\). Từ đó

\(\overset{⃗}{O E} = \frac{\overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{B}}{2} = \overset{⃗}{F O} .\)

Vì \(\overset{⃗}{O E}\) và \(\overset{⃗}{F O}\) song song cùng phương và cùng hướng (thậm chí bằng nhau), nên điểm \(O\) nằm giữa \(E\) và \(F\) — tức \(E , O , F\) thẳng hàng (và \(O\) là trung điểm của \(E F\)).

Kết luận: a) \(E B F D\) là hình bình hành. b) \(E , \textrm{ }\textrm{ } O , \textrm{ }\textrm{ } F\) thẳng hàng (và \(O\) là trung điểm của \(E F\)

ọi \(P\) là trung điểm của \(G B\). Do đó

Vì \(B G = 2 \cdot G M\) nên

Vậy \(G P = G M\), nghĩa là \(G\) là trung điểm của đoạn \(P M\).

Tương tự, \(Q\) là trung điểm của \(G C\), nên

Vì \(C G = 2 \cdot G N\) nên

Vậy \(G Q = G N\), nghĩa là \(G\) là trung điểm của đoạn \(Q N\).

Kết luận: \(G\) là trung điểm chung của cả hai đoạn \(P M\) và \(Q N\). Do đó hai đường chéo \(P M\) và \(Q N\) của tứ giác \(P Q M N\) cắt nhau và cùng chia đôi nhau. Khi hai đường chéo của tứ giác chia đôi nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Vậy \(P Q M N\) là hình bình hành. \(\square\)

a) Chứng minh hai tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành:

Tứ giác AEFD:

• Vì B là trung điểm của AE nên ta có: AB = BE (1).
• Vì C là trung điểm của DF nên ta có: CD = CF (2).
• Trong hình bình hành ABCD, ta có: AB = CD và AD = BC (tính chất hình bình hành).

Từ (1) và (2), ta suy ra:

• AE = DF (vì AB = CD và BE = CF).
• AD = EF (do AD = BC và BC = EF).

Do đó, tứ giác AEFD có các cạnh đối song song và bằng nhau, nên AEFD là một hình bình hành.

Tứ giác ABFC:

• Vì C là trung điểm của DF nên ta có: CF = CD (3).
• Trong hình bình hành ABCD, ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành).

Từ (3), ta suy ra:

• AB = CF.
• BC = AF (do BC = AD và AF = AD).

Do đó, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABFC là một hình bình hành.

b) Chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau:

Gọi trung điểm của AF là M, trung điểm của DE là N, và trung điểm của BC là P.

• Vì B là trung điểm của AE, ta có: AB = BE.
• Vì C là trung điểm của DF, ta có: CF = CD.
• Trong hình bình hành ABCD, ta có: AB = CD và AD = BC.

Xét trung điểm M của AF:

• Điểm M chia đoạn AF thành hai phần bằng nhau. Do tính chất hình bình hành ABFC, đường chéo AF cắt nhau tại trung điểm M.

Xét trung điểm N của DE:

• Điểm N chia đoạn DE thành hai phần bằng nhau. Do tính chất hình bình hành AEFD, đường chéo DE cắt nhau tại trung điểm N.

Xét trung điểm P của BC:

• Điểm P chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau. Trong hình bình hành ABCD, đường chéo BC cắt nhau tại trung điểm P.

Từ các phân tích trên, ta thấy rằng ba trung điểm M, N, P đều trùng nhau. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Kết luận:
a) Hai tứ giác AEFD và ABFC đều là hình bình hành.

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

1. • Trong hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Theo tính chất của hình bình hành, O là trung điểm của cả AC và BD.
   • Đường thẳng đi qua O cắt AB tại M và CD tại N.
   • Xét hai tam giác OAM và OCN:
   • • Góc ∠AOM = ∠CON (hai góc đối đỉnh).
     • OA = OC (vì O là trung điểm của AC).
     • OM và ON là các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O.
   • Do đó, tam giác OAM và tam giác OCN bằng nhau theo trường hợp "cạnh-góc-cạnh" (c-g-c).
2. Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành:
3. • Vì ΔOAM = ΔOCN, suy ra OM = ON.
   • Trong hình bình hành ABCD, AB // CD. Do đó, MN cũng song song với AB và CD.
   • Ta có:
   • • MB // ND (do MN // AB và CD),
     • OM = ON (chứng minh ở trên).
   • Vậy tứ giác MBND có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên MBND là hình bình hành.

Kết luận: ΔOAM = ΔOCN, và tứ giác MBND là hình bình hành.

• Tứ giác AEFD:
• • E là trung điểm của AB, nên AE = EB.
  • F là trung điểm của CD, nên CF = FD.
  • Vì ABCD là hình bình hành, AB // CD và AB = CD. Do đó, AE // DF và AE = DF.
  • Tứ giác AEFD có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AEFD là hình bình hành.
• Tứ giác AECF:
• • E là trung điểm của AB, nên AE = EB.
  • F là trung điểm của CD, nên CF = FD.
  • Vì ABCD là hình bình hành, AB // CD và AB = CD. Do đó, AC // EF và AC = EF.
  • Tứ giác AECF có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF = AD và AF = EC:

• EF = AD:
• • E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
  • Vì AB = CD (do ABCD là hình bình hành), khoảng cách giữa hai trung điểm (EF) bằng khoảng cách giữa hai cạnh đối của hình bình hành (AD). Do đó, EF = AD.
• AF = EC:
• • Xét tam giác ADC:
  • • F là trung điểm của CD.
    • E là trung điểm của AB.
    • Đường chéo AC của hình bình hành chia tam giác ADC thành hai phần có các đoạn thẳng AF và EC bằng nhau (do tính chất đường trung tuyến trong tam giác).
  • Do đó, AF = EC.

Vậy đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu.