a

Vì ABCD là hình bình hành nên \(AD\parallel BC\) và \(AB\parallel DC\). Vì \(AD\perp AC\) nên \(\angle DAC=90^{\circ }\). Xét tam giác ADM và tam giác BCM, ta có: \(\angle DAM=\angle BCM\) (so le trong) \(AM=MC\) (M là trung điểm AB) \(AD\parallel BC\) Tứ giác ADCN là hình thang vuông vì có AD // CN và AD ⊥ AC

Trong hình thang vuông ADCN, MN là đường trung bình nối hai cạnh bên không song song, vì MN // AD. Trong tam giác vuông ADCN, ta có: AC//MN

b

Vì AMCN là hình bình hành. Xét tam giác ADC: AD ⊥ AC nên \(\angle DAC=90^{\circ }\). Xét tam giác ABC: M là trung điểm AB, suy ra MC là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC. Trong tam giác vuông ABC, ta có: \(\angle ACB=90^{\circ }\). Vì ADCN là hình bình hành, nên AD // CN. Vì ABCD là hình bình hành, nên AM // CN. Xét tứ giác AMCN, ta có: \(AM=\frac{1}{2}AB\) và \(CN=\frac{1}{2}CD\). Vì \(AB=CD\) nên \(AM=CN\). \(AM\parallel CN\). Vậy AMCN là hình bình hành. Do \(\angle DAC=90^{\circ }\), ta có \(AC\perp AD\). Vì AD // CN nên \(AC\perp CN\). Từ hai điều trên ta suy ra AMCN là hình chữ nhật

Ta có AB = AD (hình thoi ABCD). Ta có góc ABC = góc ADC (hai góc đối của hình thoi). Theo giả thiết, BE = DF. Do đó, tam giác ABE bằng tam giác ADF (c.g.c), suy ra AE = AF và góc BAE = góc DAF.

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Ta có: Tam giác OAB và ODA bằng nhau (c.g.c), suy ra OA = OD. Trong tam giác OAD, ta có OA = OD, tam giác này là tam giác cân. Xét tam giác AEH, ta có AC là đường trung tuyến của nó (vì O là trung điểm của AC). Xét tam giác ABE và tam giác ADF: ∠ABC = ∠ADC = 90° (hình thoi). ∠BAE + ∠AEB = 90°. ∠DAF + ∠AFD = 90°. Từ ∠BAE = ∠DAF và ∠ABC = ∠ADC, ta có ∠AEB = ∠AFD. Từ đó suy ra tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADF

Xét tứ giác AGCH, ta có AC và GH cắt nhau tại O. Ta có OA = OC (tính chất đường chéo hình thoi). Ta có AG = CH (chứng minh trên). Vì vậy, tứ giác AGCH là hình thoi

a) Xét : \(\Delta A D H v \overset{ˋ}{a} \Delta C B K\) có :

              góc : AHD = góc : CKB ( = 90 độ )

             AD=BC ( ABCD là hbh )

            góc ADH = góc CBK ( 2 góc ở vị trí slt tạo bởi 2 đường thẳng song song là AD và BC )

Do đó : \(\Delta A D H = \Delta C B K \left(\right. c . h - g . n \left.\right)\)

\(\Rightarrow A H = C K\)

Xét t/g AHCK  có : AH//CK ( cùng vuông góc với BD )

                              AH = CK (cmt)

Suy ra : t/g AHCK là hbh.

b) Từ a) : suy ra : AHCK là hbh.

Suy ra : AC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK

Suy ra : I cũng là trung điểm của AC.

Ta có : ABCD là hbh.

Suy ra : AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường .

Mà I là trung điểm của AC.

Suy ra : I cũng là trung điểm của BD.

Suy ra : IB=ID

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét tg ABG có

NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tg ABG

\(\Rightarrow P N = \frac{1}{2} A G\) (1)

=> PN//AG (2)

Xét tg ACG có

MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tg ACG

\(\Rightarrow Q M = \frac{1}{2} A G\) (3)

=> QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow P N = Q M = \frac{1}{2} A G\)

=> PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Xét tg OAM và tg OCN có

\(\hat{B A C} = \hat{A C D}\) (góc so le trong)

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\hat{A O M} = \hat{C O N}\) (góc đối đỉnh)

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

Ta có

AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)

Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Xét tg OAM và tg OCN có

\(\hat{B A C} = \hat{A C D}\) (góc so le trong)

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\hat{A O M} = \hat{C O N}\) (góc đối đỉnh)

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

Ta có

AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)

Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)