Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K

• a) Xét ΔAHD và ΔCKB:
• • AD = BC (tính chất hình bình hành)
  • Góc AHD = góc CKB = 90°
  • Góc ADH = góc CBK (so le trong, do AD // BC)
  • suy ra ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền - góc nhọn)
  • suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng). (1)
• Mặt khác, AH ⊥ BD và CK ⊥ BD suy ra AH // CK. (2)
• Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
• b) Vì AHCK là hình bình hành (chứng minh trên) nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Mà I là trung điểm của HK suy ra I cũng là trung điểm của AC
• Xét hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra O là trung điểm AC và BD
• Ta thấy I và O cùng là trung điểm của AC suy ra I ≡ O
• suy ra I là trung điểm của BD
• suy ra IB = ID

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC.

• a) Ta có: AD // BC và AD = BC (tính chất hình bình hành).
• Mà ED = 1/2AD và BF = 1/2BC suy ra ED = BF.
• Mặt khác, ED // BF (vì cùng nằm trên AD và BC là hai cạnh song song).
• suy ra Tứ giác EBFD có ED // BF và ED = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
• b) Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất).
• Vì EBFD là hình bình hành (chứng minh trên) nên đường chéo EF phải đi qua trung điểm của đường chéo BD.
• Mà O chính là trung điểm của BD.
• suy ra Đường thẳng EF đi qua O.
• suy ra Ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC

• Xét ΔABC:
• • M là trung điểm AC, N là trung điểm AB (vì BM, CN là trung tuyến)
  • suy ra MN là đường trung bình của ΔABC
  • suy ra MN // BC và MN = 1/2BC. (1)
• Xét ΔGBC:
• • P là trung điểm GB, Q là trung điểm GC
  • suy ra PQ là đường trung bình của ΔGBC
  • suy ra PQ // BC và PQ = 1/2BC. (2)
• Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ và MN = PQ
• suy ra Tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

• a) Chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành:
• • Xét tứ giác ABFC:
  • • AB // CF (vì AB // CD và F thuộc tia đối của tia DC)
    • AB = CD. Mà CF = CD (vì C là trung điểm DF) suy ra AB = CF
    • suy ra Tứ giác ABFC có AB // CF và AB = CF nên là hình bình hành
• Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành:
• • Ta cần chứng minh AE // FD và AE = FD
  • • Ta có: AE = 2AB (vì B là trung điểm AE)
    • FD = 2CD (vì C là trung điểm DF)
    • Mà AB = CD suy ra AE = FD. (1)
    • Mặt khác, AE // FD (vì cùng song song với AB và CD). (2)
    • Từ (1) và (2) suy ra Tứ giác AEFD là hình bình hành

• b) Gọi:
• • P là trung điểm của AF
  • Q là trung điểm của DE
  • R là trung điểm của BC
• Ta cần chứng minh P, Q, R trùng nhau
• Chứng minh P trùng R:
• • Xét hình bình hành ABFC: Hai đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
  • Mà R là trung điểm BC suy ra R cũng là trung điểm của AF
  • suy ra P ≡ R. (1)
• Chứng minh Q trùng R:
• • Xét hình bình hành AEFD: Hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
  • Mà P là trung điểm AF (theo trên) suy ra P cũng là trung điểm của DE
  • suy ra Q ≡ P. (2)
• Từ (1) và (2) suy ra P ≡ Q ≡ R
• Vậy các trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N

• Chứng minh ΔOAM = ΔOCN:
• • Xét ΔOAM và ΔOCN:
  • OA = OC (tính chất hình bình hành)
  • Góc OAM = góc OCN (so le trong, do AB // CD)
  • Góc AOM = góc CON (đối đỉnh)
  • suy ra ΔOAM = ΔOCN (g.c.g)
• Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành:
• • Từ ΔOAM = ΔOCN suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng)
  • Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)
  • Xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (OM = ON, OB = OD) nên MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

• a) Xét tứ giác AEFD:
• • Ta có: AB // CD (tính chất hình bình hành) suy ra AE // DF
  • Mà AE = 1/2AB và DF = 1/2CD
  • Lại có AB = CD (tính chất hình bình hành) suy ra AE = DF
  • Tứ giác AEFD có AE // DF và AE = DF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
• Xét tứ giác AECF:
• • Ta có: AB // CD suy ra AE // CF
  • Mà AE = 1/2AB và CF = 1/2CD
  • Lại có AB = CD suy ra AE = CF
  • Tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
  • b) Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh trên) nên EF = AD (tính chất hình bình hành)
  • Vì AECF là hình bình hành (chứng minh trên) nên AF = EC (tính chất hình bình hành)