a) Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có:

AD // BC và AD = BC

Do AD // BC nên ∠ADB = ∠CBD (hai góc so le trong)

Xét hai tam giác △ADH và △CBK, ta có:

∠AHD = ∠CKB = 90°

AD = BC (đã chứng minh ở trên)

∠DHA = ∠KBC (cùng là góc nhọn ứng với cạnh huyền)

⇒ △ADH = △CBK (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ ∠AH = ∠CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

AH ⊥ BD và CK ⊥ BD ⇒ AH // CK

Tứ giác AHCK có:

AH // CK và AH = CK ⇒ AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Do △ADH = △CBK nên hai hình bằng nhau ⇒ điểm H và điểm K đối xứng nhau qua trung điểm của đoạn AC

Mà I là trung điểm của đoạn HK (giả thiết) ⇒ I là trung điểm của đoạn AC

Vì ABCD là hình bình hành, nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC (giả thiết), ⇒ II cũng là trung điểm của BD ⇒ IB=ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắtâuhu tại G

Nên G là trọng tâm tam giác ABC

suy ra GM=GB/2,GN=GC/2 (1)

mà P là tđ của GB

nên GP=PB=GB/2 (2)

Q là tđ GC nên GQ=QC

từ (1),(2),(3) suy ra GM=GPvaf GN=GQ

xét tứ giác PQMN có GM=GP và GN=GQ

suy ra tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP vàNQ cắt nhau tại tđ G của mỗi đường nên là hình binhf hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 1/2AB

CF = DF = 1/2CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy raˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.