Trong hình bình hành ABCD:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O.
• Do đó, hình bình hành có tâm đối xứng là O.

Vì vậy, phép đối xứng tâm O biến:

A \leftrightarrow C, \quad B \leftrightarrow D.

Đường BD đi qua tâm đối xứng O, nên hai đường vuông góc kẻ từ hai đỉnh đối nhau (A và C) đến BD cũng đối xứng nhau qua O.

Nói cách khác:

\text{Đường thẳng } AH \text{ đối xứng với } CK \text{ qua } O.

⇒ AH \parallel CK và AC đi qua trung điểm của HK.

Ngoài ra, A đối xứng với C qua O, nên:

O \text{ là trung điểm của } AC.

Vì vậy, hai cạnh đối AH và CK song song, hai cạnh còn lại AK và CH cũng song song (do đối xứng qua O).

✅ Kết luận: AHCK là hình bình hành.

💜 

Phần b) Chứng minh IB = ID

🌿 Gọi I là trung điểm của HK.

Ta cần chứng minh I cách đều B và D.

Từ phần (a), ta đã biết AHCK là hình bình hành, nên hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

→ Đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của cả hai, tức là tại điểm O.

Suy ra:

O \text{ là trung điểm của } AC \text{ và } HK.

Vì I là trung điểm của HK, nên I trùng với O.

 O là trung điểm của BD.

Vì vậy:

I \equiv O \Rightarrow IB = ID.

⇒ O là trung điểm của BD.

Vì vậy:

I \equiv O \Rightarrow IB = ID.

Vì E là trung điểm của AD, nên AE = ED.

Vì F là trung điểm của BC, nên BF = FC.

Mà trong hình bình hành ABCD:

AB \parallel DC, \quad AD \parallel BC.

👉 Do đó, ta có:

• AE \parallel BF (vì cùng song song với DC),
• ED \parallel FC (vì cùng song song với AB).

Vì E, F là trung điểm, các đoạn song song này lại có độ dài bằng nhau, nên:

AE = BF \quad \text{và} \quad ED = FC.

Do đó, tứ giác EBFD có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau

\Rightarrow EBFD \text{ là hình bình hành.}

Đặt gốc tọa độ tại điểm A, và gọi:

\vec{AB} = \mathbf{b}, \quad \vec{AC} = \mathbf{c}.

• M là trung điểm của AC
  \vec{M} = \dfrac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \dfrac{\mathbf{c}}{2}.
• N là trung điểm của AB
  \vec{N} = \dfrac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \dfrac{\mathbf{b}}{2}.

Trọng tâm G có tọa độ:

\vec{G} = \dfrac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \dfrac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{3}.

• P là trung điểm của GB
  \vec{P} = \dfrac{\vec{G} + \vec{B}}{2} = \dfrac{\dfrac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{3} + \mathbf{b}}{2} = \dfrac{4\mathbf{b} + \mathbf{c}}{6}.
• Q là trung điểm của GC
  \vec{Q} = \dfrac{\vec{G} + \vec{C}}{2} = \dfrac{\dfrac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{3} + \mathbf{c}}{2} = \dfrac{\mathbf{b} + 4\mathbf{c}}{6}.

Tính các vectơ cạnh của tứ giác PQMN:

\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = \dfrac{\mathbf{b} + 4\mathbf{c}}{6} - \dfrac{4\mathbf{b} + \mathbf{c}}{6} = \dfrac{-3\mathbf{b} + 3\mathbf{c}}{6} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{c} - \mathbf{b}).

\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \dfrac{\mathbf{b}}{2} - \dfrac{\mathbf{c}}{2} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{b} - \mathbf{c}) = -\dfrac{1}{2}(\mathbf{c} - \mathbf{b}).

👉 Suy ra:

\vec{PQ} = -\vec{MN} \quad \Rightarrow \quad PQ \parallel MN \text{ và } PQ = MN.

Tính \vec{PM} và \vec{QN}:

\vec{PM} = \vec{M} - \vec{P} = \dfrac{\mathbf{c}}{2} - \dfrac{4\mathbf{b} + \mathbf{c}}{6} = \dfrac{-4\mathbf{b} + 2\mathbf{c} - \mathbf{c}}{6} = \dfrac{-4\mathbf{b} + 2\mathbf{c}}{6} = \dfrac{1}{3}(\mathbf{c} - 2\mathbf{b}),

\vec{QN} = \vec{N} - \vec{Q} = \dfrac{\mathbf{b}}{2} - \dfrac{\mathbf{b} + 4\mathbf{c}}{6} = \dfrac{3\mathbf{b} - \mathbf{b} - 4\mathbf{c}}{6} = \dfrac{1}{3}(\mathbf{b} - 2\mathbf{c}).

Ta thấy:

\vec{PM} = -\vec{QN} \quad \Rightarrow \quad PM \parallel QN \text{ và } PM = QN.

✅ Vì PQ \parallel MN và PM \parallel QN, nên PQMN là hình bình hành.

Ta có:

\vec{AE} = \vec{E} - \vec{A} = (2\vec{B} - \vec{A}) - \vec{A} = 2\vec{B} - 2\vec{A} = 2\vec{AB}.

Vì ABCD là hình bình hành, nên \vec{AB} = \vec{DC}.

Suy ra:

\vec{AE} = 2\vec{DC}.

Mặt khác:

\vec{DF} = \vec{F} - \vec{D} = (2\vec{C} - \vec{D}) - \vec{D} = 2\vec{C} - 2\vec{D} = 2\vec{CD}.

Ta thấy:

\vec{AE} = 2\vec{AB} = 2\vec{DC} = -2\vec{CD} = -\vec{DF}.

⇒ AE \parallel DF và AE = DF.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh AD \parallel EF.

➡️ Hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AEFD là hình bình hành.

Ta có:

\vec{AE} = \vec{E} - \vec{A} = (2\vec{B} - \vec{A}) - \vec{A} = 2\vec{B} - 2\vec{A} = 2\vec{AB}.

Vì ABCD là hình bình hành, nên \vec{AB} = \vec{DC}.

Suy ra:

\vec{AE} = 2\vec{DC}.

Mặt khác:

\vec{DF} = \vec{F} - \vec{D} = (2\vec{C} - \vec{D}) - \vec{D} = 2\vec{C} - 2\vec{D} = 2\vec{CD}.

Ta thấy:

\vec{AE} = 2\vec{AB} = 2\vec{DC} = -2\vec{CD} = -\vec{DF}.

⇒ AE \parallel DF và AE = DF.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh AD \parallel EF.

➡️ Hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AEFD là hình bình hành.

Gọi:

• I là trung điểm của AF,
• J là trung điểm của DE,
• K là trung điểm của BC.

Ta cần chứng minh I = J = K.

Gọi:

• I là trung điểm của AF,
• J là trung điểm của DE,
• K là trung điểm của BC.

Ta cần chứng minh I = J = K.

Tính tọa độ vectơ của trung điểm

\vec{I} = \dfrac{\vec{A} + \vec{F}}{2} = \dfrac{\vec{A} + (2\vec{C} - \vec{D})}{2} = \dfrac{\vec{A} - \vec{D}}{2} + \vec{C}.

\vec{J} = \dfrac{\vec{D} + \vec{E}}{2} = \dfrac{\vec{D} + (2\vec{B} - \vec{A})}{2} = \dfrac{\vec{D} - \vec{A}}{2} + \vec{B}.

\vec{K} = \dfrac{\vec{B} + \vec{C}}{2}.

Vì ABCD là hình bình hành

, ta có:

\vec{B} = \vec{A} + \vec{AB}, \quad \vec{C} = \vec{A} + \vec{AD} + \vec{AB}, \quad \vec{D} = \vec{A} + \vec{AD}.

Thay vào, ta sẽ thấy sau khi rút gọn:

\vec{I} = \vec{K} = \vec{J}.

👉 Do đó, ba trung điểm trùng nhau.

Ta có AB \parallel CD (tính chất hình bình hành).

Đường thẳng MN cắt hai đường song song AB và CD.

➡️ Suy ra các góc tương ứng bằng nhau:

\widehat{OAM} = \widehat{OCN}.

Lại có:

• Hai tam giác OAM và OCN có góc tại O là góc đối đỉnh nên bằng nhau:
  \widehat{AOM} = \widehat{CON}.
• Và vì O là trung điểm của AC, ta có:
  OA = OC.

✅ Vậy trong hai tam giác OAM và OCN, ta có:

OA = OC,\quad \widehat{AOM} = \widehat{CON},\quad \widehat{OAM} = \widehat{OCN}.

👉 Theo trường hợp góc – cạnh – góc (G-C-G), suy ra:

\triangle OAM = \triangle OCN.

Từ \triangle OAM = \triangle OCN, ta có:

\frac{AM}{CN} = 1 \quad \text{và} \quad \text{góc tại } A = \text{góc tại } C.

Vì AB \parallel CD, nên:

MN \parallel BD.

Mặt khác, do O là trung điểm của BD, hai tam giác đối xứng nhau qua tâm O cho ta thêm tính chất:

OM = ON.

Nên các đoạn thẳng tương ứng song song và bằng nhau:

MB \parallel ND,\quad MB = ND.

➡️ Hai cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

✅ Suy ra MBND là hình bình hành.

• \triangle OAM = \triangle OCN.
• MBND là hình bình hành.

• Xét tứ giác AEFD (theo thứ tự A-E-F-D).
  \vec{AE}=E-A=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}.
  \vec{DF}=F-D=(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d})-\mathbf{d}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}.
  Vậy \vec{AE}=\vec{DF} nên AE\parallel DF và bằng độ dài.
  Ngoài ra \vec{EF}=F-E=(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d})-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}=\mathbf{d} và \vec{AD}=\mathbf{d}.
  Do đó \vec{EF}=\vec{AD} nên EF\parallel AD.
  Hai cặp cạnh đối song song nên AEFD là hình bình hành.
• Xét tứ giác AECF (theo thứ tự A-E-C-F).
  \vec{AE}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}.
  \vec{CF}=F-C=(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d})-(\mathbf{b}+\mathbf{d})=-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}.
  Vậy AE\parallel CF.
  \vec{EC}=C-E=(\mathbf{b}+\mathbf{d})-\tfrac{1}{2}\mathbf{b}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}.
  \vec{AF}=F-A=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d}.
  Do đó \vec{EC}=\vec{AF} nên EC\parallel AF.
  Hai cặp cạnh đối song song nên AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF=AD và AF=EC

Từ tính toán vector ở trên:

\vec{EF}=\mathbf{d}=\vec{AD}\quad\Rightarrow\quad EF=AD.

Và

\vec{AF}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d},\qquad \vec{EC}=\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\mathbf{d},

vậy \vec{AF}=\vec{EC}\Rightarrow AF=EC.

a. Biên trái là cực bắc;phải là cực nam