a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

Xét ΔABC có

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: NM//BC và \(N M = \frac{B C}{2} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Xét ΔGBC có 

P là trung điểm của GB

Q là trung điểm của GC

Do đó: PQ là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: PQ//BC và \(P Q = \frac{B C}{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔOAK và ΔOCH có

\(\hat{O A K} = \hat{O C H}\)(hai góc so le trong, AK//CH)

OA=OC

\(\hat{A O K} = \hat{C O H}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAK=ΔOCH

=>OK=OH

=>O là trung điểm của KH

Xét ΔOAE và ΔOCF có

\(\hat{E A O} = \hat{F C O}\)(hai góc so le trong, AE//CF)

OA=OC

\(\hat{A O E} = \hat{C O F}\)

Do đó: ΔOAE=ΔOCF

=>OE=OF

=>O là trung điểm của EF

Xét tứ giác EKFH có

O là trung điểm chung của EF và KH

=>EKFH là hình bình hành

a,Ta có

AB = CD (cạnh đối hình bình hành)

AE = BE (gt); CF=DF (gt)

=> AE = BE = CF = DF

Xét tứ giác AEFD có

AB//CD (cạnh đối hình bình hành)

=> AE//DF mà AE = DF (cmt) => AEFD là hbh (tứ giác có cặp cạnh đối // và bằng nhau là hình bình hành)

Xét tứ giác AECF có

AB//CD (cạnh đối hbh)

=> AE//CF mà AE = CF => AECF là hình bình hành (lý do như trên)

b,

Do AEFD là hbh => EF=AD (cạnh đối hbh)

Cm tương tự như câu a ta cũng có BEDF là hbh => BF=DE (cạnh đối hbh)

Cm tương tự có AECF là hbh => AF=EC (cạnh đối hbh)