Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thuyết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC => GM=GB/2;GN=GC/2( tính chất trọng tâm của tam giác)(1)

Mà P là trung điểm của GC (giả thuyết)GP=PB=GB/2(2)

Q là trung điểm của GC (giả thuyết) nên GQ=QC=GC/2(3)

Từ (1),(2) và (3)=>GM= GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm Gì của mỗi đường nên là hình bình hành

a, Đó ABCD là hình bình hành nên AB//CD,DC=AB

=>AE//DF,AE=2AB=2CD=DF

=>AEFD là hình bình hành

Tương tự,tứ giác ABC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành

b, Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

VÌ ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy ba trung điểm của AF,DE,BC trùng nhau

Xét hình bình hành ABCD ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA= OC, OB=OD

AB//CD nên AM//CN

=>Góc OAM= góc OCN ( hai góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có :

Góc OAM=góc OCN (cmt)

OA=OC (cmt)

Góc AOM= góc CON ( hai góc đối đỉnh)

=>Tam giác OAM=tam giác OCN (g.c.g)

=>AM =CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác,AB=CD(cmt)

=>AB= AM+BM ;CD=CN+DN

=> BM= DN

Xét tứ giác MBND có:

BM//DN (vì AB//CD)

BM=DN (cmt)

=> Tứ giác MBND là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành

=> AB//CD và AB=CD

Từ đó AE//CF nên AE=BE=DF=CF

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tương tự,tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song và bằng nhau ( dấu hiệu nhận biết 2)

b, Vì AEFD là hình bình hành nên AD=EF

Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC

=> AD=EF AF=EC

2