a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành. a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Do AD // BC nên ˆADB=ˆCBD (so le trong) Xét DADH và DCBK có: ˆAHD=ˆCKB=90°; AD = BC (chứng minh trên); ˆADH=ˆCBK (do ˆADB=ˆCBD). Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng). Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK. Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED; F là trung điểm của BC nên BF = FC Suy ra DE = BF Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

• xét ∆ABC có hai ​đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G ( giả thuyết ) nên G là trọng tâm của ∆ABC , suy ra GM=GB/2 ; VN = GC/2 ( tính chất trọng tâm của tam giác ) (1)

Mà P là trung điểm của GB ( giả thuyết) nên GQ = QC GC/2 (2)

Q là trung điểm của GC ( giả thuyết) nên GQ = QC GC/2 (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra GM = PT và GN = GQ

• xét tứ giác PQMN có : GM = GP và GN = GQ ( chứng minh trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường lên là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM=OCN(hai góc so le trong )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

OAM=OCN ( chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM=CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM=OCN(hai góc so le trong )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

OAM=OCN ( chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM=CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM=OCN(hai góc so le trong )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

OAM=OCN ( chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM=CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM=OCN(hai góc so le trong )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

OAM=OCN ( chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM=CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra

OAM=OCN(hai góc so le trong )

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

OAM=OCN ( chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

AOM=CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.