Trong đoạn trích "Chuyện tình ở Thanh Trì", nhân vật cô gái họ Trần hiện lên là một hình tượng phụ nữ mang vẻ đẹp tâm hồn thuần khiết, thủy chung nhưng đầy bi kịch. Trước hết, nàng là người dám vượt qua định kiến giai cấp để yêu chân thành một chàng lái đò nghèo. Tình yêu của nàng không ồn ào mà âm thầm, sâu nặng đến mức kết tinh thành một "vật lạ" trong lồng ngực. Hình ảnh khối đá đỏ trong suốt như gương, bên trong có hình bóng người thương đang tựa mái chèo nằm hát là một sáng tạo nghệ thuật độc đáo, biểu tượng cho sự gắn kết không thể tách rời giữa tình yêu và sự sống của nàng. Khối đá ấy "búa đập không vỡ", khẳng định một lòng son sắt, kiên trinh bất diệt trước mọi sóng gió hay sự ngăn cấm của gia đình. Bi kịch của nàng nằm ở nỗi đau "chẳng thể giãi bày cùng ai", dẫn đến căn bệnh tâm thể và cái chết khi tuổi đời còn quá trẻ. Tuy nhiên, cái chết không phải là kết thúc, bởi chính sự linh ứng khi khối đá tan thành máu lúc gặp nước mắt của Nguyễn Sinh đã minh chứng cho một tình yêu thấu cảm, vượt qua âm dương cách biệt. Qua nhân vật cô gái, tác giả Vũ Trinh đã ca ngợi khát vọng yêu đương chân chính và bày tỏ niềm thương cảm sâu sắc cho những thân phận phụ nữ đức hạnh bị lễ giáo phong kiến vùi dập.

Trong đoạn trích "Chuyện tình ở Thanh Trì", nhân vật Nguyễn Sinh hiện lên là một chàng trai không chỉ có ngoại hình, tài năng mà còn sở hữu lòng tự trọng cao cả và một trái tim chung thủy vẹn toàn. Trước hết, Nguyễn Sinh là người có chí khí và lòng tự tôn sâu sắc. Khi bị gia đình họ Trần khinh nghèo và dùng lời lẽ nhục mạ bà mối, chàng không chọn cách than thân trách phận mà quyết chí đi xa lập nghiệp. Hành động tích cóp "hơn hai trăm lạng vàng" sau nhiều năm bôn ba tại Cao Bằng chứng minh cho nghị lực và khát vọng chứng tỏ bản thân để xứng đáng với người mình yêu. Đặc biệt, vẻ đẹp tâm hồn của Nguyễn Sinh rực sáng nhất ở phần cuối đoạn trích qua tấm lòng thủy chung son sắt. Khi biết tin người con gái vì mình mà qua đời, chàng đau đớn khôn nguôi. Chi tiết những giọt nước mắt cảm động của chàng làm tan chảy khối đá đỏ — biểu tượng cho khối tình kết tinh của cô gái — là một hình ảnh nghệ thuật đắt giá, thể hiện sự giao thoa giữa hai tâm hồn đồng điệu. Trước tình cảm sâu nặng ấy, Nguyễn Sinh đã "thề không lấy ai nữa", một lời thề khẳng định phẩm chất trọng tình trọng nghĩa, vượt lên trên những toan tính vật chất thường tình. Qua nhân vật Nguyễn Sinh, Vũ Trinh không chỉ ca ngợi một tình yêu vượt qua cái chết mà còn tôn vinh vẻ đẹp của những con người đức hạnh, chung tình trong xã hội xưa.

Truyện ngắn "Tặng một vầng trăng sáng" của Lâm Thanh Huyền gây ấn tượng mạnh mẽ với người đọc nhờ nghệ thuật xây dựng tình huống truyện độc đáo và giàu ý nghĩa nhân văn. Trước hết, tác giả đã tạo ra một tình huống đảo ngược đầy bất ngờ: thay vì xua đuổi hay trừng phạt kẻ trộm, vị thiền sư lại đứng đợi ở cổng để tặng áo cho hắn với sự trân trọng. Cách giải quyết mâu thuẫn bằng lòng từ bi thay vì bạo lực đã tạo nên sức hấp dẫn và chiều sâu cho cốt truyện. Đặc sắc nghệ thuật còn nằm ở hình ảnh biểu tượng "vầng trăng sáng". Đây là một ẩn dụ nghệ thuật đa tầng, vừa là ánh trăng thực của thiên nhiên, vừa là biểu tượng cho ánh sáng trí tuệ và đặc biệt là thiên tính thiện lương vốn có trong mỗi con người. Ngôn ngữ truyện giản dị, hàm súc, mang đậm phong vị triết lý thiền tông, giúp truyền tải thông điệp về sức mạnh cảm hóa của tình thương một cách nhẹ nhàng mà sâu sắc. Sự chuyển biến tâm lý của kẻ trộm thông qua hành động trả lại chiếc áo ở cuối truyện là một kết thúc mở đầy dư ba, khẳng định niềm tin vào sự hướng thiện. Qua đó, nhà văn đã thành công trong việc dùng cái tĩnh để chế ngự cái động, dùng sự bao dung để thức tỉnh lương tri, tạo nên một tác phẩm nghệ thuật có giá trị thanh lọc tâm hồn.

Trong truyện ngắn "Thằng gù" của Hạ Huyền, nhân vật Đức hiện lên là một cậu bé tật nguyền mang tâm hồn nhạy cảm, giàu lòng tự trọng và sự thấu cảm sâu sắc. Vốn chịu nỗi đau ngoại hình với thân hình "gấp khúc", Đức luôn sống trong sự mặc cảm, lảng tránh những lời trêu chọc ác ý của bạn bè đồng lứa. Tuy nhiên, đằng sau vẻ ngoài "len lét", "im lặng" ấy là một khát khao học chữ cháy bỏng khi cậu luôn đứng lặng nhìn về phía trường học nghe tiếng đọc bài. Điểm sáng rực rỡ nhất trong tính cách của Đức bộc lộ qua tình huống cậu chứng kiến đứa bé gù khác bị đem ra làm trò cười cho đám đông. Cú quắc mắt và tiếng thét: "Thế mà cười được à? Đồ độc ác!" không chỉ là sự phản kháng trước thói vô tâm của người đời mà còn là lời khẳng định mạnh mẽ về phẩm giá con người. Hành động lấy những đồng tiền gấp cẩn thận tặng người hát rong và giọt nước mắt đầm đìa đã cho thấy một trái tim ấm áp, biết đau nỗi đau của đồng cảnh ngộ. Qua nhân vật Đức, tác giả đã đánh thức lương tri của những người xung quanh, đồng thời ca ngợi vẻ đẹp tâm hồn cao thượng ẩn giấu bên trong một hình hài không trọn vẹn.

Trong đoạn trích, nhân vật Đạm Tiên hiện lên là một hình tượng đầy ám ảnh, đại diện cho bi kịch hồng nhan bạc mệnh trong xã hội cũ. Nguyễn Du đã khắc họa nàng qua sự đối lập nghiệt ngã giữa quá khứ rực rỡ và hiện tại thê lương. Thuở sinh thời, nàng là ca nhi nổi danh tài sắc, khách yến anh xôn xao ngoài cửa. Thế nhưng, vẻ đẹp ấy lại mong manh như cành thiên hương sớm gãy, để rồi khi nằm xuống, nàng chỉ còn là nấm đất sè sè bên đường với ngọn cỏ dàu dàu héo úa. Nỗi đau của Đạm Tiên không chỉ nằm ở cái chết trẻ mà còn ở sự cô độc tuyệt cùng: sống làm vợ khắp người ta, thác lại thành ma không chồng, nấm mồ vô chủ không người thăm viếng, khói hương lạnh ngắt. Sự xuất hiện của nàng đóng vai trò là chiếc gương soi dự báo cho số phận mười lăm năm lưu lạc của Thúy Kiều. Tiếng khóc của Kiều trước mộ Đạm Tiên chính là tiếng khóc cho nỗi đau chung của phái đẹp qua câu thơ đau đớn thay phận đàn bà, lời rằng bạc mệnh cũng là lời chung. Qua nhân vật này, Nguyễn Du đã thể hiện giá trị nhân đạo sâu sắc, bày tỏ niềm thương xót cho những kiếp tài hoa bị vùi dập bởi định kiến và sự vô tình của người đời.

Ta có: \(\frac{x - a}{b c} + \frac{x - b}{c a} + \frac{x - c}{a b} = \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c}\)

\(\left(\right. \frac{x - a}{b c} - \frac{2}{a} \left.\right) + \left(\right. \frac{x - b}{c a} - \frac{2}{b} \left.\right) + \left(\right. \frac{x - c}{a b} - \frac{2}{c} \left.\right) = 0\)

\(\frac{a \left(\right. x - a \left.\right) - 2 b c + b \left(\right. x - b \left.\right) - 2 c a + c \left(\right. x - c \left.\right) - 2 a b}{a b c} = 0\)

Điều kiện xác định: \(a , b , c \neq 0\)

Khi đó: \(\frac{\left(\right. a + b + c \left.\right) x - a^{2} - 2 b c - b^{2} - 2 c a - c^{2} - 2 a b}{a b c} = 0\)

\(\left(\right. a + b + c \left.\right) x = \left(\left(\right. a + b + c \left.\right)\right)^{2}\) 

+ Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có vô số nghiệm.

+ Nếu \(a + b + c \neq 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = a + b + c\).

a) Xét \(\Delta A B E\) và \(\Delta A C F\) có:

\(\hat{B A C}\) chung;

\(\hat{A E B} = \hat{A F C} = 90^{\circ}\);

Do đó \(\Delta A B E \sim \Delta A C F\) (g.g).

Suy ra \(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F}\) nên \(A B . A F = A C . A E\).

b) Từ \(A B . A F = A C . A E\) suy ra \(\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}\).

Xét \(\Delta A E F\) và \(\Delta A B C\) có:

\(\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A C}\) (cmt);

\(\hat{B A C}\) chung;

Do đó \(\Delta A E F \sim \Delta A B C\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{A F E} = \hat{A C B}\) (cặp góc tương ứng).

c) Xét \(\Delta C E B\) và \(\Delta C D A\) có:

\(\hat{A C B}\) chung;

\(\hat{C E B} = \hat{C D A} = 90^{\circ}\)

Do đó \(\Delta C E B \sim \Delta C D A\) (g.g)

Suy ra \(\frac{C B}{C E} = \frac{C A}{C D}\) (cặp cạnh tương ứng).

Xét \(\Delta C B A\) và \(\Delta C E D\) có:

\(\frac{C B}{C E} = \frac{C A}{C D}\) (cmt);

\(\hat{A C B}\) chung;

Do đó \(\Delta C B A \sim \Delta C E D\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{C D E} = \hat{C A B}\) (cặp góc tương ứng) (1)

Tương tự: \(\hat{B D F} = \hat{C A B}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\hat{C D E} = \hat{B D F}\).

Mà \(\hat{C D E} + \hat{E D A} = \hat{B D F} + \hat{F D A}\) suy ra \(\hat{E D A} = \hat{F D A}\).

Suy ra \(D A\) là phân giác của góc \(E D F\).

Mặt khác \(A D \bot K D\) nên \(D K\) là phân giác ngoài của \(\Delta D E F\).

Ta có \(D I\) là phân giác trong của \(\Delta \&\text{nbsp}; D E F\) suy ra \(\frac{I F}{I E} = \frac{D F}{D E}\) (3)

Ta có \(D K\) là phân giác ngoài của \(\Delta D E F\) suy ra \(\frac{K F}{K E} = \frac{D F}{D E}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{I F}{I E} = \frac{K F}{K E}\).

a) Với \(m = - 1\), hàm số trở thành \(y = - 2 x + 1\).

Xét hàm số \(y = - 2 x + 1\) :

Thay \(x = 0\) thì \(y = 1\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2 x + 1\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\).

Thay \(x = 1\) thì \(y = - 1\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = - 2 x + 1\) đi qua điểm có tọa độ \(\left(\right. 1 ; - 1 \left.\right)\).

Vẽ đồ thị:

b) Vì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = a x + b\) song song với đường thẳng \(\left(\right. d^{'} \&\text{nbsp}; \left.\right) : y = - 3 x + 9\) nên: \(a \neq - 3 ; b \neq 9\).

Khi đó ta có: \(\left(\right. d \left.\right) : y = - 3 x + b\) và \(b \neq 9\).

Vì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = a x + b\) đi qua \(A \left(\right. 1 ; - 8 \left.\right)\) nên: \(- 8 = - 3.1 + b\)

Suy ra \(b = - 5\) (thoả mãn)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(\left(\right. d \left.\right) : y = - 3 x - 5\).

Đổi \(20\) phút \(= \frac{1}{3}\) h.

Gọi \(x\) là độ dài quãng đường từ thành phố về quê.

Điều kiện \(x > 0\); đơn vị: km.

Thời gian người đó đi từ thành phố về quê là: \(\frac{x}{30}\) km/h.

Thời gian người đó đi từ quê lên thành phố là: \(\frac{x}{25}\) km/h.

Vì thời gian lúc lên thành phố nhiều hơn thời gian về quê là \(20\) phút nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{25} = \frac{x}{30} + \frac{1}{3}\)

\(\frac{5 x}{750} = \frac{1}{3}\)

\(15 x = 750\)

\(x = 50\) (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường từ thành phố về quê là \(50\) km.

a) \(3 x - 5 = 4\)

\(3 x = 9\)

\(x = 3\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3\).

b) \(\frac{2 x}{3} + \frac{3 x - 1}{6} = \frac{x}{2}\)

\(\frac{4 x}{6} + \frac{3 x - 1}{6} = \frac{3 x}{6}\)

\(4 x + 3 x - 1 = 3 x\)

\(4 x = 1\)

\(x = \frac{1}{4}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{4}\).